Serie numeriche

La serie è geometrica di ragione $q=\frac{2}{5}$, con $|q|<1$, quindi converge e la somma vale

Poiché $\frac{3^{n-1}}{4^n}=\frac{1}{3}{\left(\frac{3}{4}\right)}^n$, la serie è geometrica di ragione $\frac{3}{4}$ e la somma vale

Poiché $\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\right)$, la serie è telescopica, le somme parziali valgono $\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2N+1}\right)$ e la somma è $\frac{1}{2}$.

Poiché $\frac{1}{n(n+1)(n+2)}=\frac{1}{2}\left(\frac{1}{n(n+1)}-\frac{1}{(n+1)(n+2)}\right)$, la serie è telescopica con $b_n=\frac{1}{2n(n+1)}$ e la somma vale $b_1=\frac{1}{4}$.

Poiché $\frac{1}{n^2}\to 0$, per il limite notevole del logaritmo $\ln \left(1+\frac{1}{n^2}\right)\sim \frac{1}{n^2}$, e $\sum \frac{1}{n^2}$ converge; quindi la serie converge.

Razionalizzando, $\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\sim \frac{1}{2\sqrt{n}}$, quindi il termine generale è asintotico a $\frac{1}{2n^{3/2}}$; poiché $\frac{3}{2}>1$, la serie converge.

Poiché $\frac{1}{n}\to 0$, per il limite notevole dell’esponenziale $e^{1/n}-1\sim \frac{1}{n}$, e la serie armonica diverge; quindi la serie diverge a $+\infty$.

Il rapporto vale $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1{)}^3}{(n+1)n^3}=\frac{(n+1{)}^2}{n^3}\to 0<1$, quindi la serie converge.

Il rapporto vale $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(2n+1)(2n+2)}{(n+1{)}^2\cdot 5}\to \frac{4}{5}<1$, quindi la serie converge.

La radice $n$-esima del termine generale è $\frac{2n+1}{3n+2}\to \frac{2}{3}<1$, quindi la serie converge.

La serie dei moduli diverge, perché $\frac{1}{2n+1}\sim \frac{1}{2n}$ e l’armonica diverge; la successione $\frac{1}{2n+1}$ è positiva, decrescente e infinitesima, quindi per il criterio di Leibniz la serie converge semplicemente.

La serie dei moduli diverge per il criterio dell’integrale, perché l’integrale di $\frac{1}{x\ln x}$ su $[2,+\infty )$ è infinito; la successione $\frac{1}{n\ln n}$ è positiva, decrescente e infinitesima, quindi per il criterio di Leibniz la serie converge semplicemente.

La serie è geometrica di ragione $q=\frac{x+1}{3}$ e converge se e solo se $|x+1|<3$, cioè per $-4<x<2$; in tal caso la somma vale

Il rapporto dei moduli dei coefficienti tende a $\frac{1}{2}$, quindi $R=2$; in $x=2$ resta la serie armonica, che diverge, e in $x=-2$ resta $\sum \frac{(-1{)}^n}{n}$, che converge per il criterio di Leibniz. L’insieme di convergenza è $[-2,2)$.