Teoria

Integrali impropri

Come si estende l'integrale a intervalli illimitati e a funzioni illimitate, quali integrali campione fanno da riferimento e come i criteri del confronto stabiliscono la convergenza senza calcolare una primitiva.

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Integrale su un intervallo illimitato
Integrale di una funzione illimitata
Più punti critici
Integrali campione

Integrale su un intervallo illimitato

Sia $f : [a, + \infty) \to R$ integrabile su $[a, t]$ per ogni $t > a$ . L’integrale improprio di $f$ su $[a, + \infty)$ è

\int_{a}^{+ \infty} f (x) d x = t \to + \infty lim \int_{a}^{t} f (x) d x .

L’integrale si dice

convergente, se il limite esiste finito;
divergente, se il limite è $+ \infty$ oppure $- \infty$ ;
indeterminato, se il limite non esiste.

Su $(- \infty, b]$ la definizione usa il limite per $t \to - \infty$ dell’integrale su $[t, b]$ . Stabilire in quale dei tre casi cade un integrale, cioè il suo carattere, è il problema del capitolo.

I tre caratteri

\int_{1}^{t} \frac{d x}{x ^{2}} = 1 - \frac{1}{t} \to 1, \int_{1}^{t} \frac{d x}{x} = ln t \to + \infty, \int_{0}^{t} cos x d x = sin t .

Il primo integrale converge e vale $1$ ; il secondo diverge; il terzo è indeterminato, perché $sin t$ per $t \to + \infty$ oscilla tra $- 1$ e $1$ senza ammettere limite.

Osservazione

Il carattere dipende soltanto dal comportamento vicino al punto critico. Per $a < b$ gli integrali su $[a, + \infty)$ e su $[b, + \infty)$ differiscono per l’integrale ordinario su $[a, b]$ , quindi hanno lo stesso carattere. Per questo i criteri di questo capitolo chiedono le ipotesi soltanto definitivamente, cioè da un certo punto in poi.

Integrale di una funzione illimitata

Integrale di una funzione illimitata vicino a un estremo

Sia $f : (a, b] \to R$ integrabile su $[t, b]$ per ogni $t \in (a, b]$ e illimitata vicino ad $a$ . Si pone

\int_{a}^{b} f (x) d x = t \to a^{+} lim \int_{t}^{b} f (x) d x,

con la stessa terminologia: convergente, divergente, indeterminato. Se $f$ è illimitata vicino a $b$ si usa il limite per $t \to b^{-}$ dell’integrale su $[a, t]$ . Un estremo vicino al quale la funzione è illimitata, come pure un estremo infinito, si chiama punto critico dell’integrale.

Esempio

\int_{t}^{1} \frac{d x}{x} = - ln t \to + \infty (t \to 0^{+}), \int_{t}^{1} \frac{d x}{x} = 2 - 2 t \to 2.

L’integrale di $\frac{1}{x}$ su $(0, 1]$ diverge, mentre quello di $\frac{1}{x}$ converge e vale $2$ , anche se entrambe le integrande tendono a $+ \infty$ per $x \to 0^{+}$ .

Più punti critici

Integrale con più punti critici

Se i punti critici sono più di uno (entrambi gli estremi, oppure punti interni vicino ai quali la funzione è illimitata), si fissano punti intermedi e l’integrale si spezza in una somma di integrali con un punto critico ciascuno. L’integrale converge se convergono tutti i pezzi, e il valore è la somma dei valori; se almeno un pezzo non converge, l’integrale non converge. Per l’additività dell’integrale, carattere e valore non dipendono dalla scelta dei punti intermedi.

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( 1 + x )} = \int_{0}^{1} \frac{d x}{x ( 1 + x )} + \int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( 1 + x )}

Il primo pezzo ha punto critico $0$ , dove l’integranda è illimitata; il secondo ha punto critico $+ \infty$ .

Attenzione

La formula fondamentale del calcolo integrale si applica quando l’integranda è integrabile su tutto l’intervallo. Per $\int_{- 1}^{1} \frac{d x}{x ^{2}}$ il calcolo diretto con la primitiva $- \frac{1}{x}$ darebbe $- 2$ , un valore negativo per una funzione positiva; il punto critico $x = 0$ è interno, e ciascuno dei due integrali su $[- 1, 0)$ e su $(0, 1]$ diverge.

Integrali campione

I criteri di confronto riconducono ogni integrale a pochi integrali di riferimento, calcolati una volta per tutte.

Integrali campione delle potenze

Per $α \in R$ :

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α}} converge se e solo se α > 1, \int_{0}^{1} \frac{d x}{x ^{α}} converge se e solo se α < 1.

In caso di convergenza i valori sono $\frac{1}{α - 1}$ e $\frac{1}{1 - α}$ . All’infinito convergono le potenze che tendono a $0$ più in fretta di $\frac{1}{x}$ ; vicino a $0$ convergono le potenze che tendono all’infinito più lentamente di $\frac{1}{x}$ . Le due condizioni sono incompatibili, quindi $\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{α}}$ non converge per alcun valore di $α$ . Questi integrali sono i termini di paragone dei criteri di confronto.

Dimostrazione

Per $α \neq = 1$ una primitiva di $x^{- α}$ è $\frac{x ^{1 - α}}{1 - α}$ , quindi

\int_{1}^{t} \frac{d x}{x ^{α}} = \frac{t ^{1 - α} - 1}{1 - α} .

Se $α > 1$ l’esponente $1 - α$ è negativo, perciò $t^{1 - α} \to 0$ e l’integrale converge al valore $\frac{1}{α - 1}$ . Se $α < 1$ l’esponente è positivo, perciò $t^{1 - α} \to + \infty$ e l’integrale diverge. Per $α = 1$ si ha $\int_{1}^{t} \frac{d x}{x} = ln t \to + \infty$ . Vicino a $0$ , per $α \neq = 1$ ,

\int_{t}^{1} \frac{d x}{x ^{α}} = \frac{1 - t ^{1 - α}}{1 - α};

per $t \to 0^{+}$ la potenza $t^{1 - α}$ tende a $0$ se $α < 1$ , con convergenza al valore $\frac{1}{1 - α}$ , e tende a $+ \infty$ se $α > 1$ , con divergenza. Per $α = 1$ si ha $\int_{t}^{1} \frac{d x}{x} = - ln t \to + \infty$ .

Le aree sottese da y = 1/x e da y = 1/x²

L’area sottesa da $y = \frac{1}{x ^{2}}$ su $[1, + \infty)$ è finita e vale $1$ , mentre l’area sottesa da $y = \frac{1}{x}$ è infinita, anche se le due funzioni tendono entrambe a $0$ . Il carattere dell’integrale misura la velocità con cui l’integranda tende a $0$ .

y = 1/x su [1, +∞): l'integrale diverge

y = 1/x² su [1, +∞): l'integrale converge e vale 1

Integrale campione con il logaritmo

Per $β \in R$ :

\int_{2}^{+ \infty} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{β}} converge se e solo se β > 1.

Per $β > 0$ l’integranda tende a $0$ più in fretta di $\frac{1}{x}$ e più lentamente di ogni $\frac{1}{x ^{α}}$ con $α > 1$ , quindi il confronto con le potenze lascia il carattere aperto; questo campione copre i casi intermedi.

Dimostrazione

Con la sostituzione $u = ln x$ , $d u = \frac{d x}{x}$ ,

\int_{2}^{t} \frac{d x}{x ( ln x ) ^{β}} = \int_{l n 2}^{l n t} \frac{d u}{u ^{β}},

e $ln t \to + \infty$ per $t \to + \infty$ , quindi l’integrale ha lo stesso carattere di $\int_{l n 2}^{+ \infty} \frac{d u}{u ^{β}}$ . Lo spostamento dell’estremo inferiore da $1$ a $ln 2$ non cambia il carattere, perciò dal campione delle potenze segue la convergenza se e solo se $β > 1$ .

La teoria continua con 5 altri paragrafi (criterio del confronto, confronto asintotico, ordine di infinitesimo e di infinito dellintegranda…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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