Teoria

Calcolo integrale

Le primitive e le tecniche di integrazione, l'integrale definito secondo Riemann con il teorema fondamentale del calcolo, e il calcolo delle aree.

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Primitive e integrale indefinito
La tabella degli integrali elementari
Integrazione per parti
Integrazione per sostituzione

Primitive e integrale indefinito

Primitiva e integrale indefinito

Sia $f : I \to R$ con $I$ intervallo. Una funzione $F : I \to R$ è una primitiva di $f$ su $I$ se $F$ è derivabile e $F^{'} (x) = f (x)$ per ogni $x \in I$ . L’integrale indefinito di $f$ è l’insieme di tutte le primitive di $f$ e si indica con $\int f (x) d x$ . Per esempio $\frac{x ^{3}}{3}$ è una primitiva di $x^{2}$ , perché la sua derivata è $x^{2}$ . La ricerca delle primitive è l’operazione inversa della derivazione; con la formula fondamentale del calcolo riduce il calcolo degli integrali definiti alla ricerca di una primitiva.

Due primitive differiscono per una costante

Se $F$ e $G$ sono primitive di $f$ sull’intervallo $I$ , esiste $c \in R$ tale che $G (x) = F (x) + c$ per ogni $x \in I$ . Trovata una primitiva $F$ , quindi, l’integrale indefinito è descritto dalla scrittura

\int f (x) d x = F (x) + c, c \in R .

Dimostrazione

Sia $H = G - F$ . La funzione $H$ è derivabile su $I$ e $H^{'} (x) = G^{'} (x) - F^{'} (x) = f (x) - f (x) = 0$ per ogni $x \in I$ . Siano $x_{1} < x_{2}$ due punti di $I$ . Poiché $I$ è un intervallo, $[x_{1}, x_{2}] \subseteq I$ , quindi $H$ è continua su $[x_{1}, x_{2}]$ e derivabile su $(x_{1}, x_{2})$ e il teorema di Lagrange si applica: esiste $ξ \in (x_{1}, x_{2})$ tale che

H (x_{2}) - H (x_{1}) = H^{'} (ξ) (x_{2} - x_{1}) = 0.

Perciò $H$ assume lo stesso valore in ogni coppia di punti di $I$ , cioè è costante: $H (x) = c$ per ogni $x \in I$ , da cui $G (x) = F (x) + c$ .

Osservazione

L’ipotesi che il dominio sia un intervallo non si può togliere. La funzione $\frac{1}{x}$ ha dominio $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ e le sue primitive sono $ln ∣ x ∣ + c_{1}$ per $x > 0$ e $ln ∣ x ∣ + c_{2}$ per $x < 0$ , con due costanti indipendenti. La scrittura $\int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + c$ sottintende che si lavora su uno dei due intervalli.

La tabella degli integrali elementari

Integrali elementari

Dalla tabella delle derivate, letta al contrario:

\int x^{α} d x = \frac{x ^{α + 1}}{α + 1} + c (α \neq = - 1), \int \frac{1}{x} d x = ln ∣ x ∣ + c, \int e^{x} d x = e^{x} + c, \int a^{x} d x = \frac{a ^{x}}{ln a} + c (a > 0, a \neq = 1), \int sin x d x = - cos x + c, \int cos x d x = sin x + c, \int \frac{1}{cos ^{2} x} d x = tan x + c, \int \frac{1}{1 + x ^{2}} d x = arctan x + c, \int \frac{1}{1 - x ^{2}} d x = arcsin x + c .

Ogni formula si verifica derivando il secondo membro.

Integrali elementari in forma composta

Se al posto di $x$ compare una funzione $f (x)$ e nell’integranda compare il fattore $f^{'} (x)$ , la regola di derivazione della funzione composta, letta al contrario, dà

\int f^{'} (x) [f (x)]^{α} d x = \frac{[ f ( x ) ] ^{α + 1}}{α + 1} + c (α \neq = - 1), \int \frac{f ^{'} ( x )}{f ( x )} d x = ln ∣ f (x) ∣ + c, \int f^{'} (x) e^{f (x)} d x = e^{f (x)} + c, \int f^{'} (x) cos f (x) d x = sin f (x) + c, \int \frac{f ^{'} ( x )}{1 + [ f ( x ) ] ^{2}} d x = arctan f (x) + c .

Questi integrali si dicono quasi immediati: si riconosce nell’integranda la derivata $f^{'} (x)$ , eventualmente a meno di una costante moltiplicativa.

Esempio

\int tan x d x = - \int \frac{- sin x}{cos x} d x = - ln ∣ cos x ∣ + c, \int cos x sin^{2} x d x = \frac{sin ^{3} x}{3} + c

Nel primo integrale il numeratore $- sin x$ è la derivata del denominatore $cos x$ , quindi si applica la formula per $\frac{f ^{'}}{f}$ . Nel secondo il fattore $cos x$ è la derivata di $sin x$ , quindi si applica la formula per $f^{'} f^{α}$ con $α = 2$ .

Integrazione per parti

Siano $f$ e $g$ derivabili con derivata continua su un intervallo. Allora

\int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) - \int f^{'} (x) g (x) d x,

e per l’integrale definito

\int_{a}^{b} f (x) g^{'} (x) d x = [f (x) g (x)]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} (x) g (x) d x .

La formula scambia l’integrale di $f g^{'}$ con quello di $f^{'} g$ : conviene quando il nuovo integrale è più semplice di quello di partenza, cioè quando il fattore scelto per la derivazione si semplifica derivando.

Dimostrazione

Per la regola di derivazione del prodotto, $(f g)^{'} = f^{'} g + f g^{'}$ , quindi $f g$ è una primitiva di $f^{'} g + f g^{'}$ . Integrando entrambi i membri si ottiene

\int f^{'} (x) g (x) d x + \int f (x) g^{'} (x) d x = f (x) g (x) + c,

e portando il primo integrale a secondo membro si ottiene la formula. La versione per l’integrale definito segue applicando la formula fondamentale del calcolo alla primitiva $f g$ .

Osservazione

Casi tipici, con la scelta del fattore da derivare:

polinomio per esponenziale, oppure per seno o coseno, come $\int x e^{x} d x$ : si deriva il polinomio, perché a ogni passaggio il grado si abbassa; con un polinomio di grado $n$ si integra per parti $n$ volte;
logaritmo e arcotangente, come $\int ln x d x$ e $\int arctan x d x$ : si deriva il logaritmo o l’arcotangente e si prende $g^{'} (x) = 1$ ;
esponenziale per seno o coseno, come $\int e^{x} sin x d x$ : si integra per parti due volte e ricompare l’integrale di partenza; l’uguaglianza ottenuta si risolve rispetto all’integrale.

Il logaritmo con il fattore 1

\int ln x d x = \int 1 \cdot ln x d x = x ln x - \int x \cdot \frac{1}{x} d x = x ln x - x + c

Si pone $f (x) = ln x$ e $g^{'} (x) = 1$ , quindi $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ e $g (x) = x$ . Il prodotto $x \cdot \frac{1}{x}$ vale $1$ , perciò il nuovo integrale è immediato.

Integrazione per sostituzione

Siano $f$ continua e $g$ derivabile con derivata continua. Se $F$ è una primitiva di $f$ , allora

\int f (g (x)) g^{'} (x) d x = F (g (x)) + c,

perché per la regola di derivazione della funzione composta la derivata di $F (g (x))$ è $f (g (x)) g^{'} (x)$ . La formula si usa nei due versi:

sostituzione diretta, $t = g (x)$ : si scrive $d t = g^{'} (x) d x$ e l’integrale diventa $\int f (t) d t$ ; calcolata una primitiva nella variabile $t$ , si torna alla variabile $x$ con $t = g (x)$ ;
sostituzione inversa, $x = φ (t)$ con $φ$ derivabile e invertibile: si scrive $d x = φ^{'} (t) d t$ e l’integrale $\int f (x) d x$ diventa $\int f (φ (t)) φ^{'} (t) d t$ ; alla fine si torna alla variabile $x$ con $t = φ^{- 1} (x)$ .

Nell’integrale definito la sostituzione $t = g (x)$ trasforma anche gli estremi:

\int_{a}^{b} f (g (x)) g^{'} (x) d x = \int_{g (a)}^{g (b)} f (t) d t,

e il calcolo si conclude nella variabile $t$ , senza tornare alla variabile $x$ .

Sostituzioni tipiche

$t = e^{x}$ quando l’integranda è funzione di $e^{x}$ ; da $t = e^{x}$ segue $d t = e^{x} d x$ , cioè $d x = \frac{d t}{t}$ ;
$t = ln x$ quando compaiono $ln x$ e il fattore $\frac{1}{x}$ ;
$t = x$ , cioè $x = t^{2}$ , per eliminare la radice; più in generale $t = n a x + b$ ;
$x = sin t$ con $t \in [- \frac{π}{2}, \frac{π}{2}]$ per integrande contenenti $1 - x^{2}$ .

Per esempio, con la sostituzione $t = ln x$ ,

\int \frac{1}{x ln x} d x = \int \frac{1}{t} d t = ln ∣ t ∣ + c = ln ln x + c .

La teoria continua con 5 altri paragrafi (integrali di funzioni razionali, lintegrale definito secondo riemann, proprietà dellintegrale e teorema della media…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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