Teoria

Limiti e continuità

Che cosa significa che una funzione tende a un valore, come si calcolano i limiti, quali teoremi li governano, e che cosa aggiunge la continuità.

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Intorni e punti di accumulazione
Definizione di limite
Primi teoremi sui limiti
Operazioni con i limiti e forme indeterminate

Intorni e punti di accumulazione

Intorno di un punto

Per $x_{0} \in R$ e $r > 0$ , l’intorno di $x_{0}$ di raggio $r$ è l’intervallo aperto

I (x_{0}, r) = (x_{0} - r, x_{0} + r) = {x \in R : ∣ x - x_{0} ∣ < r} .

Un intorno di $+ \infty$ è una semiretta $(a, + \infty)$ ; un intorno di $- \infty$ è una semiretta $(- \infty, a)$ . Le scritture $∣ x - x_{0} ∣ < r$ e $x \in (x_{0} - r, x_{0} + r)$ dicono la stessa cosa, e nelle definizioni di limite compaiono entrambe.

Punto di accumulazione

$x_{0} \in R$ è di accumulazione per $A \subseteq R$ se ogni intorno di $x_{0}$ contiene almeno un punto di $A$ diverso da $x_{0}$ . Il punto può appartenere ad $A$ oppure no. Il limite per $x \to x_{0}$ ha senso solo in un punto di accumulazione del dominio.

$A = (0, 1)$ : di accumulazione sono tutti i punti di $[0, 1]$ , compresi $0$ e $1$ che non stanno in $A$ .
$A = {1, 2, 3}$ : nessun punto di accumulazione.
$A = N$ : nessun punto di accumulazione in $R$ ; ha senso solo $x \to + \infty$ .

Definizione di limite

Limite finito in un punto

$f : A \to R$ , $x_{0}$ di accumulazione per $A$ . Si scrive $x \to x_{0} lim f (x) = L$ , con $L \in R$ , se per ogni $ε > 0$ esiste $δ > 0$ tale che, per ogni $x \in A$ ,

0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε .

Fissata una distanza $ε$ da $L$ , piccola a piacere, esiste un intorno di $x_{0}$ in cui tutti i valori $f (x)$ distano da $L$ meno di $ε$ ; il raggio $δ$ dipende da $ε$ . La condizione $0 < ∣ x - x_{0} ∣$ esclude $x_{0}$ , quindi il valore $f (x_{0})$ , anche quando esiste, non ha alcun ruolo.

Verifica con la definizione

$x \to 2 lim (3 x - 1) = 5$ . Fissato $ε > 0$ , poiché $∣ (3 x - 1) - 5∣ = 3∣ x - 2∣$ , basta $δ = \frac{ε}{3}$ : se $∣ x - 2∣ < \frac{ε}{3}$ allora $3∣ x - 2∣ < ε$ .

Il limite non dipende dal valore nel punto

$f (x) = \frac{sin x}{x}$ è definita per $x \neq = 0$ e $0$ è di accumulazione per il dominio. Per $x \to 0$ si ha $f (x) \to 1$ (limite notevole del seno), anche se $f (0)$ non esiste: il grafico ha un punto vuoto in $(0, 1)$ .

y = sin x / x; il punto (0, 1) non appartiene al grafico

Limite infinito e limite all'infinito

Stessa struttura, con intorni di tipo diverso.

$x \to x_{0} lim f (x) = + \infty$ se per ogni $M > 0$ esiste $δ > 0$ tale che $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ ⟹ f (x) > M$ .
$x \to + \infty lim f (x) = L$ (con $A$ illimitato superiormente) se per ogni $ε > 0$ esiste $K > 0$ tale che $x > K ⟹ ∣ f (x) - L ∣ < ε$ .
$x \to + \infty lim f (x) = + \infty$ se per ogni $M > 0$ esiste $K > 0$ tale che $x > K ⟹ f (x) > M$ .

Per $- \infty$ si scrive $f (x) < - M$ oppure $x < - K$ . In tutti i casi: per ogni intorno $V$ del valore limite esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ tale che $f (x) \in V$ per ogni $x \in U \cap A$ , $x \neq = x_{0}$ .

Esempio

$f (x) = \frac{1}{x ^{2}}$ . Per $x \to 0$ : fissato $M > 0$ , $\frac{1}{x ^{2}} > M$ per $0 < ∣ x ∣ < \frac{1}{M}$ , quindi $f (x) \to + \infty$ . Per $x \to + \infty$ : fissato $ε > 0$ , $\frac{1}{x ^{2}} < ε$ per $x > \frac{1}{ε}$ , quindi $f (x) \to 0$ .

Limite destro e limite sinistro

Il limite destro $x \to x_{0}^{+} lim f (x)$ è il limite della restrizione di $f$ ai punti $x > x_{0}$ ; il limite sinistro $x \to x_{0}^{-} lim f (x)$ ai punti $x < x_{0}$ . Se $x_{0}$ è di accumulazione da entrambi i lati, il limite esiste se e solo se i due limiti laterali esistono e coincidono. Servono quando la funzione ha espressioni diverse a destra e a sinistra, oppure quando un denominatore cambia segno nel punto.

Esempio

$x \to 0^{+} lim \frac{1}{x} = + \infty$ e $x \to 0^{-} lim \frac{1}{x} = - \infty$ , quindi il limite per $x \to 0$ non esiste.

y = 1/x: i due limiti laterali in 0 sono diversi

Primi teoremi sui limiti

Unicità del limite

Se il limite di $f$ per $x \to x_{0}$ esiste, è unico. Per questo si scrive $lim f (x) = L$ con il segno di uguale e nei calcoli il limite si tratta come un numero.

Dimostrazione

Siano per assurdo $L_{1} \neq = L_{2}$ due limiti finiti e $ε = \frac{∣ L _{1} - L _{2} ∣}{2} > 0$ . Esistono $δ_{1}, δ_{2}$ con $∣ f (x) - L_{i} ∣ < ε$ per $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ_{i}$ ; per $δ = min {δ_{1}, δ_{2}}$ esiste $x \in A$ con $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ , perché $x_{0}$ è di accumulazione. Quindi

∣ L_{1} - L_{2} ∣ \leq ∣ L_{1} - f (x) ∣ + ∣ f (x) - L_{2} ∣ < 2 ε = ∣ L_{1} - L_{2} ∣,

che è assurdo. Con un limite infinito si ragiona allo stesso modo con gli intorni corrispondenti.

Permanenza del segno

Se $x \to x_{0} lim f (x) = L > 0$ (anche $L = + \infty$ ), esiste un intorno $U$ di $x_{0}$ con $f (x) > 0$ per ogni $x \in U \cap A$ , $x \neq = x_{0}$ . Analogamente con $L < 0$ e $f (x) < 0$ . Serve per dedurre il segno di una funzione vicino a un punto dal suo limite; viene usato nel teorema degli zeri e nello studio della monotonia.

Dimostrazione

Per $L$ finito si applica la definizione con $ε = \frac{L}{2} > 0$ : esiste $δ$ tale che $∣ f (x) - L ∣ < \frac{L}{2}$ per $0 < ∣ x - x_{0} ∣ < δ$ , da cui $f (x) > L - \frac{L}{2} = \frac{L}{2} > 0$ . Per $L = + \infty$ si applica la definizione con $M = 1$ .

Attenzione

Il teorema va dal limite al segno, non dal segno al limite. Da $f (x) > 0$ in un intorno e limite esistente segue soltanto $L \geq 0$ : $f (x) = x^{2} > 0$ per $x \neq = 0$ e il limite in $0$ è $0$ .

Teorema del confronto

Se $g (x) \leq f (x) \leq h (x)$ in un intorno di $x_{0}$ (escluso al più $x_{0}$ ) e $g (x) \to L$ , $h (x) \to L$ con $L \in R$ , allora $f (x) \to L$ . Con i limiti infiniti basta una disuguaglianza: se $f (x) \geq g (x)$ e $g (x) \to + \infty$ , allora $f (x) \to + \infty$ . Permette di calcolare un limite senza un’espressione esplicita della funzione; con questo teorema si dimostrano i limiti notevoli.

Dimostrazione

Fissato $ε > 0$ , per $x$ abbastanza vicino a $x_{0}$ valgono $L - ε < g (x)$ e $h (x) < L + ε$ , quindi

L - ε < g (x) \leq f (x) \leq h (x) < L + ε,

cioè $∣ f (x) - L ∣ < ε$ .

Limitata per infinitesima

Se $∣ f (x) ∣ \leq C$ in un intorno di $x_{0}$ e $g (x) \to 0$ , allora $f (x) g (x) \to 0$ . Segue dal confronto: $0 \leq ∣ f (x) g (x) ∣ \leq C ∣ g (x) ∣ \to 0$ .

x \to + \infty lim \frac{sin x}{x} = 0 perch \overset{e}{ˊ} ∣ sin x ∣ \leq 1 e \frac{1}{x} \to 0.

Il limite di $sin x$ per $x \to + \infty$ non esiste; il teorema richiede soltanto che $sin x$ sia limitata.

Operazioni con i limiti e forme indeterminate

Limiti di somma, prodotto e quoziente

Se $f (x) \to L$ e $g (x) \to M$ con $L, M \in R$ , allora

f (x) + g (x) \to L + M, f (x) g (x) \to L M, \frac{f ( x )}{g ( x )} \to \frac{L}{M} se M \neq = 0.

Con limiti infiniti valgono le regole seguenti ( $L \in R$ ; $0^{+}$ indica una quantità che tende a $0$ restando positiva; i casi con i segni cambiati sono simmetrici):

L + \infty = + \infty, + \infty + \infty = + \infty, L \cdot (+ \infty) = + \infty (L > 0), \frac{L}{\pm \infty} = 0, \frac{L}{0 ^{+}} = + \infty (L > 0) .

Forme indeterminate

+ \infty - \infty, 0 \cdot \infty, \frac{0}{0}, \frac{\infty}{\infty}, 1^{\infty}, 0^{0}, \infty^{0}

In questi casi il valore del limite non è determinato dai limiti delle parti e dipende dalle funzioni: per $x \to + \infty$ i rapporti $\frac{x}{x}$ , $\frac{x ^{2}}{x}$ , $\frac{x}{x ^{2}}$ sono tutti del tipo $\frac{\infty}{\infty}$ e tendono a $1$ , $+ \infty$ , $0$ . Il calcolo prosegue trasformando l’espressione: scomposizione, raccoglimento del termine dominante, razionalizzazione, limiti notevoli; nel capitolo sulle derivate, formula di Taylor e teorema di de l’Hôpital.

Attenzione

$\frac{L}{0}$ con $L \neq = 0$ non è una forma indeterminata: il limite è infinito e il segno dipende dal segno di $L$ e da quello con cui il denominatore tende a $0$ . Per esempio $x \to 1^{+} lim \frac{2}{x - 1} = + \infty$ e $x \to 1^{-} lim \frac{2}{x - 1} = - \infty$ .

Raccoglimento del termine dominante

x \to + \infty lim \frac{2 x ^{3} - x}{5 x ^{3} + x ^{2} + 1} = x \to + \infty lim \frac{x ^{3} ( 2 - \frac{1}{x ^{2}} )}{x ^{3} ( 5 + \frac{1}{x} + \frac{1}{x ^{3}} )} = \frac{2}{5}

Dopo la semplificazione di $x^{3}$ i termini $\frac{1}{x ^{2}}$ , $\frac{1}{x}$ , $\frac{1}{x ^{3}}$ tendono a $0$ . In un rapporto di polinomi per $x \to \pm \infty$ contano solo i termini di grado massimo.

Limite di una funzione composta

Se $g (x) \to y_{0}$ per $x \to x_{0}$ , $f (y) \to L$ per $y \to y_{0}$ , e $g (x) \neq = y_{0}$ in un intorno di $x_{0}$ (condizione non necessaria se $f$ è continua in $y_{0}$ ), allora $f (g (x)) \to L$ per $x \to x_{0}$ . Autorizza la sostituzione $y = g (x)$ dentro un limite, cioè il cambio di variabile con cui si usano i limiti notevoli.

x \to 0 lim \frac{sin 3 x}{x} = x \to 0 lim 3 \cdot \frac{sin 3 x}{3 x} = 3 \cdot y \to 0 lim \frac{sin y}{y} = 3 (y = 3 x \to 0)

La teoria continua con 5 altri paragrafi (limiti notevoli, infinitesimi infiniti e simboli di landau, asintoti…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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