Esercizi svolti · Scheda 1

Integrali espliciti su intervalli illimitati

Teoria usata: Integrale su un intervallo illimitato Integrali campione delle potenze

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Esercizio 1

Calcolare

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{3}} .

\int_{1}^{t} \frac{d x}{x ^{3}} = [- \frac{1}{2 x ^{2}}]_{1}^{t} = \frac{1}{2} - \frac{1}{2 t ^{2}}

\int_{1}^{+ \infty} \frac{d x}{x ^{3}} = t \to + \infty lim (\frac{1}{2} - \frac{1}{2 t ^{2}}) = \frac{1}{2}

L’unico punto critico è $+ \infty$ , quindi per la definizione si integra su $[1, t]$ e poi si calcola il limite per $t \to + \infty$ . Una primitiva di $x^{- 3}$ è $\frac{x ^{- 2}}{- 2} = - \frac{1}{2 x ^{2}}$ , perciò l’integrale su $[1, t]$ vale $\frac{1}{2} - \frac{1}{2 t ^{2}}$ . Per $t \to + \infty$ il termine $\frac{1}{2 t ^{2}}$ tende a $0$ , quindi il limite esiste finito e l’integrale converge al valore $\frac{1}{2}$ . Il risultato è coerente con il campione delle potenze, poiché l’esponente $α = 3$ è maggiore di $1$ e il valore previsto è $\frac{1}{α - 1} = \frac{1}{2}$ .

Esercizio 2

Calcolare

\int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} d x .

\int_{0}^{t} e^{- 2 x} d x = [- \frac{e ^{- 2 x}}{2}]_{0}^{t} = \frac{1}{2} - \frac{e ^{- 2 t}}{2}

\int_{0}^{+ \infty} e^{- 2 x} d x = t \to + \infty lim (\frac{1}{2} - \frac{e ^{- 2 t}}{2}) = \frac{1}{2}

L’integranda è continua su $[0, + \infty)$ , quindi l’unico punto critico è $+ \infty$ . Una primitiva di $e^{- 2 x}$ è $- \frac{e ^{- 2 x}}{2}$ , come si verifica derivando, poiché la derivata di $- \frac{e ^{- 2 x}}{2}$ è $e^{- 2 x}$ . L’integrale su $[0, t]$ vale quindi $\frac{1}{2} - \frac{e ^{- 2 t}}{2}$ . Per $t \to + \infty$ l’esponenziale $e^{- 2 t}$ tende a $0$ , perciò l’integrale converge e vale $\frac{1}{2}$ .

Esercizio 3

Calcolare

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} .

\int_{0}^{t} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = [arctan x]_{0}^{t} = arctan t

\int_{0}^{+ \infty} \frac{d x}{1 + x ^{2}} = t \to + \infty lim arctan t = \frac{π}{2}

Una primitiva di $\frac{1}{1 + x ^{2}}$ è $arctan x$ , e $arctan 0 = 0$ , quindi l’integrale su $[0, t]$ vale $arctan t$ . Per $t \to + \infty$ l’arcotangente tende al suo estremo superiore $\frac{π}{2}$ , perciò l’integrale converge e vale $\frac{π}{2}$ . L’integranda è asintotica a $\frac{1}{x ^{2}}$ per $x \to + \infty$ , quindi la convergenza era prevista anche dal confronto con il campione di esponente $2$ ; il calcolo esplicito fornisce in più il valore.