Numeri complessi

Numero complesso

Un numero complesso è una coppia ordinata $(a,b)$ di numeri reali, con somma e prodotto definiti da

L’insieme dei numeri complessi si indica con $\mathbb{C}$. Posto $i=(0,1)$, dalla definizione di prodotto segue $i^2=(0,1)\cdot (0,1)=(-1,0)$, e identificando $(a,0)$ con il numero reale $a$ si ottiene la scrittura

detta forma algebrica. Nei calcoli si usa sempre la forma algebrica: si opera come con i polinomi in $i$, sostituendo $i^2$ con $-1$ ogni volta che compare.

Parte reale e parte immaginaria

Per $z=a+ib$ con $a,b\in \mathbb{R}$ si pone

La parte immaginaria è il numero reale $b$, non $ib$. Due numeri complessi sono uguali se e solo se hanno la stessa parte reale e la stessa parte immaginaria; su questa proprietà si fondano le equazioni risolte ponendo $z=x+iy$, perché un’uguaglianza in $\mathbb{C}$ equivale a un sistema di due uguaglianze in $\mathbb{R}$.

Somma, prodotto, reciproco e quoziente

Per $z=a+ib$ e $w=c+id$:

Il prodotto si ottiene svolgendo $(a+ib)(c+id)$ con la proprietà distributiva e sostituendo $i^2=-1$. Per il reciproco e il quoziente si moltiplicano numeratore e denominatore per il coniugato del denominatore, così il denominatore diventa il numero reale $c^2+d^2$. Con queste operazioni $\mathbb{C}$ è un campo: valgono le stesse regole algebriche di $\mathbb{R}$.

Coniugato e sue proprietà

Il coniugato di $z=a+ib$ è

Per ogni $z,w\in \mathbb{C}$ valgono

e inoltre $z=\bar{z}$ se e solo se $z$ è reale. Il coniugato serve a rendere reali i denominatori, a estrarre parte reale e parte immaginaria, e compare nelle equazioni con $\bar{z}$, che si risolvono ponendo $z=x+iy$.

Modulo e sue proprietà

Il modulo di $z=a+ib$ è il numero reale

nullo solo per $z=0$. Per ogni $z,w\in \mathbb{C}$ valgono

L’identità $z\bar{z}=|z{|}^2$ si verifica con il calcolo: $(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2$. Da essa segue la formula del reciproco, $\frac{1}{z}=\frac{\bar{z}}{|z{|}^2}$, e la moltiplicatività del modulo: $|zw{|}^2=zw\overline{zw}=z\bar{z}w\bar{w}=|z{|}^2|w{|}^2$. Sul modulo si fondano la forma trigonometrica e i luoghi geometrici del piano descritti da equazioni come $|z-z_0|=r$.

Piano di Gauss

Il numero $z=a+ib$ si rappresenta nel piano cartesiano con il punto di coordinate $(a,b)$: l’asse delle ascisse contiene i numeri reali, l’asse delle ordinate i numeri immaginari puri $ib$. Con questa identificazione

• la somma $z+w$ è la somma dei vettori che congiungono l’origine ai punti $z$ e $w$ (regola del parallelogramma);
• il modulo $|z|$ è la distanza del punto $z$ dall’origine, e $|z-w|$ è la distanza tra i punti $z$ e $w$;
• il coniugato $\bar{z}$ è il simmetrico di $z$ rispetto all’asse reale.

L’interpretazione di $|z-w|$ come distanza traduce le equazioni e disequazioni con il modulo in luoghi geometrici: $|z-z_0|=r$ è la circonferenza di centro $z_0$ e raggio $r$, $|z-z_0|\le r$ è il cerchio corrispondente, $|z-z_1|=|z-z_2|$ è l’asse del segmento di estremi $z_1$ e $z_2$.