Esercizi svolti · Scheda 7

Operazioni con le frazioni algebriche

Teoria usata: Somma e differenza di frazioni algebriche Prodotto e quoziente di frazioni algebriche MCD e mcm di polinomi Condizioni di esistenza

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Esercizio 1

Calcola

\frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 3} .

\begin{cases} x \neq 3 \\ x \neq -3 \end{cases}

\begin{aligned} \frac{1}{x - 3} + \frac{2}{x + 3} &= \frac{(x + 3) + 2\,(x - 3)}{(x - 3)(x + 3)} \\[6pt] &= \frac{x + 3 + 2x - 6}{(x - 3)(x + 3)} \\[6pt] &= \frac{3x - 3}{(x - 3)(x + 3)} \\[6pt] &= \frac{3\,(x - 1)}{(x - 3)(x + 3)} \end{aligned}

I denominatori $x - 3$ e $x + 3$ valgono zero per $x = 3$ e per $x = -3$ , quindi questi valori sono esclusi. I due denominatori non hanno fattori comuni, perciò il loro $\operatorname{mcm}$ , cioè il denominatore comune, è il prodotto $(x - 3)(x + 3)$ .

Numeratore e denominatore della prima frazione si moltiplicano per $x + 3$ , quelli della seconda per $x - 3$ . Al numeratore si ottiene $x + 3 + 2x - 6$ , che è uguale a $3x - 3$ . Raccogliendo $3$ si ottiene il risultato $\dfrac{3\,(x - 1)}{(x - 3)(x + 3)}$ , che non si semplifica, perché numeratore e denominatore non hanno fattori comuni.

Esercizio 2

Calcola

\frac{2}{x^2 - 1} - \frac{1}{x^2 - x} .

x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1) , \qquad x^2 - x = x\,(x - 1)

\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq 1 \\ x \neq -1 \end{cases}

\begin{aligned} \frac{2}{(x + 1)(x - 1)} - \frac{1}{x\,(x - 1)} &= \frac{2x - (x + 1)}{x\,(x + 1)(x - 1)} \\[6pt] &= \frac{x - 1}{x\,(x + 1)(x - 1)} \\[6pt] &= \frac{1}{x\,(x + 1)} \end{aligned}

Il primo denominatore è una differenza di quadrati, e nel secondo si raccoglie $x$ . I fattori dei denominatori valgono zero per $x = -1$ , $x = 1$ e $x = 0$ , quindi questi tre valori sono esclusi. Il $\operatorname{mcm}$ dei denominatori contiene tutti i fattori una volta, ed è $x\,(x + 1)(x - 1)$ .

Il primo denominatore non contiene il fattore $x$ , quindi il numeratore $2$ diventa $2x$ . Il secondo non contiene $x + 1$ , quindi il numeratore $1$ diventa $x + 1$ , preceduto dal segno meno. Il numeratore è perciò $2x - x - 1 = x - 1$ . Il fattore $x - 1$ è comune a numeratore e denominatore e si semplifica, e il risultato è $\dfrac{1}{x\,(x + 1)}$ .

Esercizio 3

Calcola

\frac{x^2 - 9}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x^2 + 3x} .

\begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq -3 \end{cases}

\begin{aligned} \frac{x^2 - 9}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x^2 + 3x} &= \frac{(x + 3)(x - 3)}{2x} \cdot \frac{4x^2}{x\,(x + 3)} \\[6pt] &= \frac{4x^2\,(x - 3)}{2x \cdot x} \\[6pt] &= 2\,(x - 3) \end{aligned}

Il denominatore $2x$ vale zero per $x = 0$ , e il denominatore $x^2 + 3x = x\,(x + 3)$ vale zero per $x = 0$ e per $x = -3$ . Le condizioni di esistenza sono quindi $x \neq 0$ e $x \neq -3$ .

Prima di moltiplicare si scompone tutto. Il fattore $x + 3$ compare al numeratore della prima frazione e al denominatore della seconda, quindi si semplifica. Restano $4x^2\,(x - 3)$ al numeratore e $2x \cdot x = 2x^2$ al denominatore. Poiché $\dfrac{4x^2}{2x^2} = 2$ , il prodotto è uguale a $2\,(x - 3)$ .

Esercizio 4

Calcola

\frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 1} : \frac{x + 3}{x - 1} .

\begin{cases} x \neq 1 \\ x \neq -1 \\ x \neq -3 \end{cases}

\begin{aligned} \frac{x^2 + 5x + 6}{x^2 - 1} : \frac{x + 3}{x - 1} &= \frac{(x + 2)(x + 3)}{(x + 1)(x - 1)} \cdot \frac{x - 1}{x + 3} \\[6pt] &= \frac{x + 2}{x + 1} \end{aligned}

I denominatori $x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$ e $x - 1$ danno le condizioni $x \neq 1$ e $x \neq -1$ . Nel quoziente la seconda frazione si capovolge, quindi anche il suo numeratore $x + 3$ va al denominatore e deve essere diverso da zero; da qui viene la condizione $x \neq -3$ .

Il numeratore $x^2 + 5x + 6$ è un trinomio con somma e prodotto, perché $2 + 3 = 5$ e $2 \cdot 3 = 6$ , e quindi è uguale a $(x + 2)(x + 3)$ . Si moltiplica la prima frazione per il reciproco della seconda, e si semplificano i fattori comuni $x + 3$ e $x - 1$ . Il quoziente è perciò $\dfrac{x + 2}{x + 1}$ .