Esercizi svolti · Scheda 6

Condizioni di esistenza e semplificazione di frazioni algebriche

Teoria usata: Frazione algebrica Condizioni di esistenza Legge di annullamento del prodotto Semplificazione di una frazione algebrica Falso quadrato

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Esercizio 1

Determina le condizioni di esistenza della frazione

\frac{x + 2}{x^2 - 25} .

x^2 - 25 = (x + 5)(x - 5)

\begin{cases} x \neq -5 \\ x \neq 5 \end{cases}

Per la frazione

\frac{x + 2}{x ^{2} - 25}

sono esclusi i valori

x = - 5

x = 5

Le condizioni di esistenza richiedono che il denominatore sia diverso da zero. Il denominatore $x^2 - 25$ è una differenza di quadrati, perché $25 = 5^2$ , quindi è uguale a $(x + 5)(x - 5)$ .

Per la legge di annullamento del prodotto il denominatore vale zero quando vale zero uno dei due fattori. Il fattore $x + 5$ vale zero per $x = -5$ e il fattore $x - 5$ vale zero per $x = 5$ . Le due condizioni vanno soddisfatte insieme, perciò si escludono entrambi i valori. Il numeratore non entra nelle condizioni, perché un numeratore uguale a zero dà una frazione uguale a zero, che ha significato.

Esercizio 2

Semplifica la frazione

\frac{x^2 - 16}{x^2 + 4x} .

\frac{x^2 - 16}{x^2 + 4x} = \frac{(x + 4)(x - 4)}{x\,(x + 4)} \qquad \begin{cases} x \neq 0 \\ x \neq -4 \end{cases}

\frac{(x + 4)(x - 4)}{x\,(x + 4)} = \frac{x - 4}{x}

Il numeratore è una differenza di quadrati, con basi $x$ e $4$ . Nel denominatore si raccoglie $x$ , e resta $x + 4$ . Il denominatore $x\,(x + 4)$ vale zero per $x = 0$ e per $x = -4$ , quindi questi due valori sono esclusi.

Il fattore $x + 4$ compare sia al numeratore sia al denominatore, e per i valori ammessi è diverso da zero. Per la proprietà invariantiva si dividono numeratore e denominatore per $x + 4$ , e la frazione diventa $\dfrac{x - 4}{x}$ , con le condizioni $x \neq 0$ e $x \neq -4$ .

Esercizio 3

Semplifica la frazione

\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} .

\frac{x^2 - 6x + 9}{x^2 - 9} = \frac{(x - 3)^2}{(x + 3)(x - 3)} \qquad \begin{cases} x \neq -3 \\ x \neq 3 \end{cases}

\frac{(x - 3)^2}{(x + 3)(x - 3)} = \frac{x - 3}{x + 3}

Il numeratore è il quadrato del binomio $x - 3$ , perché $9 = 3^2$ e il doppio prodotto $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ compare con il segno meno. Il denominatore è una differenza di quadrati. Il denominatore vale zero per $x = -3$ e per $x = 3$ , quindi entrambi i valori sono esclusi.

Il numeratore contiene due volte il fattore $x - 3$ e il denominatore una volta. Dividendo numeratore e denominatore per $x - 3$ si ottiene $\dfrac{x - 3}{x + 3}$ . La condizione $x \neq 3$ resta, anche se la frazione semplificata ha significato per $x = 3$ , perché la frazione di partenza con $x = 3$ diventa $\dfrac{0}{0}$ .

Esercizio 4

Semplifica la frazione

\frac{2x^2 - 2x - 12}{x^3 - 27} .

2x^2 - 2x - 12 = 2\,(x^2 - x - 6) = 2\,(x + 2)(x - 3)

x^3 - 27 = (x - 3)(x^2 + 3x + 9)

x^2 + 3x + 9 = \left( x + \frac{3}{2} \right)^2 + \frac{27}{4}

\frac{2\,(x + 2)(x - 3)}{(x - 3)(x^2 + 3x + 9)} = \frac{2\,(x + 2)}{x^2 + 3x + 9} \qquad x \neq 3

Nel numeratore si raccoglie $2$ e resta il trinomio $x^2 - x - 6$ . Due numeri con somma $-1$ e prodotto $-6$ sono $2$ e $-3$ , quindi il trinomio con somma e prodotto si scompone in $(x + 2)(x - 3)$ . Il denominatore è una differenza di cubi, perché $27 = 3^3$ .

Il fattore $x^2 + 3x + 9$ è un falso quadrato. Si scrive come $\left( x + \dfrac{3}{2} \right)^2 + \dfrac{27}{4}$ , perché $\left( x + \dfrac{3}{2} \right)^2 = x^2 + 3x + \dfrac{9}{4}$ e $\dfrac{9}{4} + \dfrac{27}{4} = \dfrac{36}{4} = 9$ . Il quadrato è maggiore o uguale a $0$ , quindi il fattore è maggiore o uguale a $\dfrac{27}{4}$ e non vale mai zero. Il denominatore vale perciò zero solo per $x = 3$ , e l’unica condizione di esistenza è $x \neq 3$ .

Il fattore comune $x - 3$ si semplifica, e la frazione diventa $\dfrac{2\,(x + 2)}{x^2 + 3x + 9}$ .