Esercizi svolti · Scheda 8

Problemi con la scomposizione e le frazioni algebriche

Teoria usata: Differenza di quadrati Trinomio di secondo grado con somma e prodotto Somma e differenza di frazioni algebriche Condizioni di esistenza

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Esercizio 1

Un giardino quadrato ha il lato di $58\,\mathrm{m}$ . Al centro c’è una vasca quadrata con il lato di $42\,\mathrm{m}$ . Calcola l’area del giardino senza la vasca, usando la differenza di quadrati.

\begin{aligned} A &= 58^2 - 42^2 \\[6pt] &= (58 + 42)(58 - 42) \\[6pt] &= 100 \cdot 16 \\[6pt] &= 1600\,\mathrm{m^2} \end{aligned}

L’area del giardino è $58^2$ e l’area della vasca è $42^2$ , quindi l’area che resta è la differenza $58^2 - 42^2$ . Per la regola della differenza di quadrati questa differenza è uguale al prodotto della somma dei lati, $58 + 42 = 100$ , per la loro differenza, $58 - 42 = 16$ .

Il prodotto $100 \cdot 16 = 1600$ si calcola a mente, mentre i quadrati $58^2 = 3364$ e $42^2 = 1764$ richiedono due moltiplicazioni. L’area del giardino senza la vasca è perciò $1600\,\mathrm{m^2}$ .

Esercizio 2

Un rettangolo ha area $x^2 + 7x + 10$ , in $\mathrm{cm^2}$ , e uno dei lati misura $x + 2$ , in $\mathrm{cm}$ , con $x > 0$ . Trova la misura dell’altro lato e calcola il perimetro del rettangolo per $x = 3$ .

\begin{cases} a + b = 7 \\ a \cdot b = 10 \end{cases} \qquad a = 2 , \quad b = 5

x^2 + 7x + 10 = (x + 2)(x + 5)

x = 3 \qquad \Longrightarrow \qquad x + 2 = 5 , \quad x + 5 = 8

2p = 2 \cdot (5 + 8) = 26\,\mathrm{cm}

Per

x = 3

il rettangolo ha i lati di

5 cm

8 cm

e l'area di

3^{2} + 7 \cdot 3 + 10 = 40 c m^{2}

L’area di un rettangolo è il prodotto dei due lati. Per trovare l’altro lato si scompone l’area in un prodotto che contiene il fattore $x + 2$ . Il trinomio $x^2 + 7x + 10$ ha coefficiente di $x^2$ uguale a $1$ , e due numeri con somma $7$ e prodotto $10$ sono $2$ e $5$ . Per la regola del trinomio con somma e prodotto l’area è $(x + 2)(x + 5)$ , quindi l’altro lato misura $x + 5$ .

Con $x = 3$ i lati misurano $3 + 2 = 5\,\mathrm{cm}$ e $3 + 5 = 8\,\mathrm{cm}$ . Il perimetro è il doppio della somma dei lati, cioè $2 \cdot 13 = 26\,\mathrm{cm}$ . L’area con $x = 3$ vale $9 + 21 + 10 = 40\,\mathrm{cm^2}$ , che coincide con $5 \cdot 8 = 40$ .

Esercizio 3

Un’automobile percorre $120\,\mathrm{km}$ all’andata alla velocità di $x\,\mathrm{km/h}$ , con $x > 0$ , e $120\,\mathrm{km}$ al ritorno alla velocità di $(x + 20)\,\mathrm{km/h}$ . Scrivi il tempo totale del viaggio come una sola frazione algebrica e calcolalo per $x = 60$ .

\begin{aligned} t &= \frac{120}{x} + \frac{120}{x + 20} \\[6pt] &= \frac{120\,(x + 20) + 120\,x}{x\,(x + 20)} \\[6pt] &= \frac{240x + 2400}{x\,(x + 20)} \\[6pt] &= \frac{240\,(x + 10)}{x\,(x + 20)} \end{aligned}

x = 60 \qquad \Longrightarrow \qquad t = \frac{240 \cdot 70}{60 \cdot 80} = \frac{16800}{4800} = \frac{7}{2}\,\mathrm{h}

Il tempo di un tragitto è la distanza divisa per la velocità, quindi l’andata dura $\dfrac{120}{x}$ ore e il ritorno dura $\dfrac{120}{x + 20}$ ore. Una velocità è positiva, perciò $x > 0$ e anche $x + 20 > 0$ , e i denominatori sono sempre diversi da zero.

Il denominatore comune è $x\,(x + 20)$ . Il primo numeratore si moltiplica per $x + 20$ e il secondo per $x$ , e la somma è $120x + 2400 + 120x = 240x + 2400$ . Raccogliendo $240$ si ottiene $\dfrac{240\,(x + 10)}{x\,(x + 20)}$ .

Con $x = 60$ il numeratore vale $240 \cdot 70 = 16800$ e il denominatore vale $60 \cdot 80 = 4800$ . Dividendo entrambi per $2400$ si ottiene $\dfrac{7}{2}$ , quindi il viaggio dura $\dfrac{7}{2}$ ore, cioè $3$ ore e $30$ minuti. Lo stesso risultato si ottiene con le due frazioni separate, perché $\dfrac{120}{60} + \dfrac{120}{80} = 2 + \dfrac{3}{2} = \dfrac{7}{2}$ .