Esercizi svolti · Scheda 5

MCD e mcm di polinomi

Teoria usata: MCD e mcm di polinomi Raccoglimento totale Differenza di quadrati Trinomio quadrato di un binomio

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Esercizio 1

Calcola il MCD e il mcm dei polinomi $4x + 8$ e $x^2 - 4$ .

4x + 8 = 2^2\,(x + 2) , \qquad x^2 - 4 = (x + 2)(x - 2)

\operatorname{MCD} = x + 2

\operatorname{mcm} = 4\,(x + 2)(x - 2)

Il primo polinomio si scompone con il raccoglimento totale di $4$ , e $4 = 2^2$ . Il secondo è una differenza di quadrati, perché $4 = 2^2$ , quindi è uguale a $(x + 2)(x - 2)$ .

L’unico fattore comune ai due polinomi è $x + 2$ , che compare con esponente $1$ in entrambi; perciò il $\operatorname{MCD}$ è $x + 2$ . Nel $\operatorname{mcm}$ entrano tutti i fattori, ciascuno una sola volta perché nessuno compare con esponente più grande di $1$ , cioè $2^2$ , $x + 2$ e $x - 2$ . Il $\operatorname{mcm}$ è quindi $4\,(x + 2)(x - 2)$ .

Esercizio 2

Calcola il MCD e il mcm dei polinomi $3x^2 - 3x$ e $x^2 - 2x + 1$ .

3x^2 - 3x = 3x\,(x - 1) , \qquad x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2

\operatorname{MCD} = x - 1

\operatorname{mcm} = 3x\,(x - 1)^2

Nel primo polinomio si raccoglie $3x$ e resta $x - 1$ . Il secondo è il quadrato del binomio $x - 1$ , perché $x^2$ e $1$ sono quadrati di basi $x$ e $1$ e il doppio prodotto $2 \cdot x \cdot 1 = 2x$ compare con il segno meno.

Il fattore comune è $x - 1$ . Nel primo polinomio ha esponente $1$ e nel secondo ha esponente $2$ , quindi nel $\operatorname{MCD}$ entra con l’esponente più piccolo, $1$ , e nel $\operatorname{mcm}$ con l’esponente più grande, $2$ . Il $\operatorname{mcm}$ contiene anche i fattori non comuni $3$ e $x$ , perciò è $3x\,(x - 1)^2$ .

Esercizio 3

Calcola il MCD e il mcm dei polinomi $2x + 6$ , $x^2 - 9$ e $x^2 + 6x + 9$ .

2x + 6 = 2\,(x + 3)

x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)

x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2

\operatorname{MCD} = x + 3 , \qquad \operatorname{mcm} = 2\,(x + 3)^2 (x - 3)

Il primo polinomio si scompone raccogliendo $2$ . Il secondo è una differenza di quadrati con basi $x$ e $3$ . Il terzo è il quadrato del binomio $x + 3$ , perché $9 = 3^2$ e il doppio prodotto $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ compare con il segno più.

Il fattore $x + 3$ è l’unico presente in tutti e tre i polinomi, con esponente più piccolo $1$ , quindi il $\operatorname{MCD}$ è $x + 3$ . Nel $\operatorname{mcm}$ entrano $2$ , $x - 3$ e $x + 3$ con l’esponente più grande, che è $2$ nel terzo polinomio. Il $\operatorname{mcm}$ è perciò $2\,(x + 3)^2 (x - 3)$ .