Esercizi svolti · Scheda 4

Somme e differenze di cubi

Teoria usata: Somma e differenza di cubi Falso quadrato Raccoglimento totale

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Esercizio 1

Scomponi in fattori il binomio $x^3 - 27$ .

27 = 3^3

\begin{aligned} x^3 - 27 &= x^3 - 3^3 \\[6pt] &= (x - 3)(x^2 + 3x + 9) \end{aligned}

Il numero $27$ è il cubo di $3$ , perché $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ . Il binomio è quindi una differenza di cubi, con $a = x$ e $b = 3$ . Per la regola $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ il primo fattore è $x - 3$ , e il secondo è $x^2 + x \cdot 3 + 3^2 = x^2 + 3x + 9$ .

Il secondo fattore è un falso quadrato, perché il termine centrale è $3x$ e il doppio prodotto delle basi sarebbe $6x$ ; perciò è irriducibile e la scomposizione è completa. Con $x = 1$ il binomio vale $1 - 27 = -26$ e il prodotto vale $(-2) \cdot 13 = -26$ .

Esercizio 2

Scomponi in fattori il binomio $8x^3 + 1$ .

8x^3 = (2x)^3 , \qquad 1 = 1^3

\begin{aligned} 8x^3 + 1 &= (2x)^3 + 1^3 \\[6pt] &= (2x + 1)\left( (2x)^2 - 2x \cdot 1 + 1^2 \right) \\[6pt] &= (2x + 1)(4x^2 - 2x + 1) \end{aligned}

Il termine $8x^3$ è il cubo di $2x$ , perché $(2x)^3 = 2^3 \cdot x^3 = 8x^3$ , e $1$ è il cubo di $1$ . Il binomio è quindi una somma di cubi, con $a = 2x$ e $b = 1$ . Per la regola $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$ il primo fattore è $2x + 1$ .

Il secondo fattore contiene il quadrato di $2x$ , cioè $4x^2$ , il prodotto $2x \cdot 1 = 2x$ con il segno meno, e il quadrato di $1$ . Si ottiene $4x^2 - 2x + 1$ , che è un falso quadrato e quindi è irriducibile.

Esercizio 3

Scomponi in fattori il binomio $2x^3 - 16$ .

\begin{aligned} 2x^3 - 16 &= 2\,(x^3 - 8) \\[6pt] &= 2\,(x^3 - 2^3) \\[6pt] &= 2\,(x - 2)(x^2 + 2x + 4) \end{aligned}

Il numero $16$ non è un cubo, ma i due termini hanno il fattore comune $2$ . Con il raccoglimento totale si ottiene $2\,(x^3 - 8)$ , perché $\dfrac{16}{2} = 8$ .

Il numero $8$ è il cubo di $2$ , quindi $x^3 - 8$ è una differenza di cubi con $a = x$ e $b = 2$ . Il primo fattore è $x - 2$ e il secondo è $x^2 + 2x + 4$ , perché $x \cdot 2 = 2x$ e $2^2 = 4$ . Il polinomio è perciò uguale a $2\,(x - 2)(x^2 + 2x + 4)$ .