Trinomi con somma e prodotto

Il coefficiente di $x^2$ è $1$, quindi si cercano due numeri con somma $8$ e prodotto $15$. Il prodotto è positivo e la somma è positiva, perciò i due numeri sono entrambi positivi. Le coppie di numeri positivi con prodotto $15$ sono $1$ e $15$, con somma $16$, e $3$ e $5$, con somma $8$.

La coppia con somma $8$ è $3$ e $5$, e per la regola del trinomio con somma e prodotto si ha $x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$.

Il prodotto $14$ è positivo, quindi i due numeri hanno lo stesso segno. La somma $-9$ è negativa, perciò i due numeri sono entrambi negativi. Le coppie di numeri negativi con prodotto $14$ sono $-1$ e $-14$, con somma $-15$, e $-2$ e $-7$, con somma $-9$.

Si sceglie la coppia $-2$ e $-7$. I fattori sono $x+(-2)=x-2$ e $x+(-7)=x-7$, quindi il trinomio è uguale a $(x-2)(x-7)$.

Il prodotto $-24$ è negativo, quindi i due numeri hanno segni opposti. La somma $2$ è positiva, perciò il numero positivo ha il valore assoluto più grande. Le coppie con prodotto $-24$ in cui il numero positivo ha il valore assoluto più grande sono $24$ e $-1$, $12$ e $-2$, $8$ e $-3$, $6$ e $-4$, con somme $23$, $10$, $5$ e $2$.

La coppia con somma $2$ è $6$ e $-4$. Il trinomio è quindi uguale a $(x+6)(x-4)$. Con $x=1$ il trinomio vale $1+2-24=-21$ e il prodotto vale $7\cdot (-3)=-21$.

Il coefficiente di $x^2$ è $3$, che divide anche $3$ e $60$. Con il raccoglimento totale di $3$ si ottiene $3(x^2-x-20)$, perché $\frac{60}{3}=20$. Nel trinomio $x^2-x-20$ il coefficiente di $x^2$ è $1$, e il coefficiente di $x$ è $-1$.

Si cercano due numeri con somma $-1$ e prodotto $-20$. Il prodotto è negativo, quindi i numeri hanno segni opposti, e la somma è negativa, perciò il numero negativo ha il valore assoluto più grande. La coppia $4$ e $-5$ ha prodotto $-20$ e somma $-1$. Il trinomio di partenza è quindi uguale a $3(x+4)(x-5)$.