Esercizi svolti · Scheda 2

Differenze di quadrati e quadrati di binomi

Teoria usata: Differenza di quadrati Trinomio quadrato di un binomio Raccoglimento totale Ordine dei metodi per una scomposizione completa

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Esercizio 1

Scomponi in fattori il binomio $16x^2 - 9$ .

16x^2 = (4x)^2 , \qquad 9 = 3^2

16x^2 - 9 = (4x + 3)(4x - 3)

Il binomio è la differenza di due quadrati. La base di $16x^2$ è $4x$ , perché $(4x)^2 = 4x \cdot 4x = 16x^2$ , e la base di $9$ è $3$ . Per la regola della differenza di quadrati il binomio è il prodotto della somma delle basi per la loro differenza, cioè $(4x + 3)(4x - 3)$ .

Con $x = 1$ il binomio vale $16 - 9 = 7$ e il prodotto vale $7 \cdot 1 = 7$ .

Esercizio 2

Scomponi in fattori il trinomio $9x^2 - 12x + 4$ .

9x^2 = (3x)^2 , \qquad 4 = 2^2 , \qquad 2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x

9x^2 - 12x + 4 = (3x - 2)^2

Il primo e l’ultimo termine sono quadrati, con basi $3x$ e $2$ . Il doppio prodotto delle basi è $2 \cdot 3x \cdot 2 = 12x$ , che coincide con il termine centrale a meno del segno. Il termine centrale ha il segno meno, quindi il trinomio è il quadrato del binomio $3x - 2$ .

Con $x = 1$ il trinomio vale $9 - 12 + 4 = 1$ e $(3 - 2)^2 = 1$ .

Esercizio 3

Scomponi in fattori il polinomio $2x^3 - 12x^2 + 18x$ .

\begin{aligned} 2x^3 - 12x^2 + 18x &= 2x\,(x^2 - 6x + 9) \\[6pt] &= 2x\,(x - 3)^2 \end{aligned}

I tre termini hanno il fattore comune $2x$ , perché $\operatorname{MCD}(2, 12, 18) = 2$ e $x$ compare in tutti i termini con esponente più piccolo $1$ . Con il raccoglimento totale si ottiene $2x\,(x^2 - 6x + 9)$ , dato che $\dfrac{12x^2}{2x} = 6x$ e $\dfrac{18x}{2x} = 9$ .

Nel trinomio $x^2 - 6x + 9$ i termini $x^2$ e $9$ sono quadrati di basi $x$ e $3$ , e il doppio prodotto $2 \cdot x \cdot 3 = 6x$ compare con il segno meno. Il trinomio è perciò il quadrato del binomio $x - 3$ , e il polinomio è uguale a $2x\,(x - 3)^2$ .

Esercizio 4

Scomponi in fattori il binomio $x^4 - 81$ .

\begin{aligned} x^4 - 81 &= (x^2)^2 - 9^2 \\[6pt] &= (x^2 + 9)(x^2 - 9) \\[6pt] &= (x^2 + 9)(x + 3)(x - 3) \end{aligned}

Il termine $x^4$ è il quadrato di $x^2$ , perché $x^2 \cdot x^2 = x^4$ , e $81$ è il quadrato di $9$ . Il binomio è quindi una differenza di quadrati e si scompone in $(x^2 + 9)(x^2 - 9)$ .

Il secondo fattore, $x^2 - 9$ , è a sua volta una differenza di quadrati, con basi $x$ e $3$ , perciò è uguale a $(x + 3)(x - 3)$ . Il primo fattore, $x^2 + 9$ , è una somma di quadrati ed è irriducibile, poiché $x^2 + 9 \geq 9$ non vale mai zero. La scomposizione è quindi completa.