Esercizi svolti · Scheda 4

Aree di parallelogrammi, triangoli, rombi e trapezi

Teoria usata: Area del parallelogramma e del triangolo Area del rombo e del trapezio Altezza di un triangolo Quadrilateri Poligono e perimetro

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Esercizio 1

Un parallelogramma ha base $12$ cm, altezza $5$ cm e lato obliquo $6$ cm. Calcola l’area e il perimetro.

A = b \cdot h = 12 \cdot 5 = 60\ \text{cm}^2

2p = 2 \cdot (12 + 6) = 2 \cdot 18 = 36\ \text{cm}

L’area del parallelogramma è base per altezza, come quella del rettangolo, perché il parallelogramma si trasforma in un rettangolo con la stessa base e la stessa altezza. Quindi l’area è $A = 12 \cdot 5 = 60\ \text{cm}^2$ . Il lato obliquo non compare nel calcolo dell’area.

Il perimetro è invece la somma dei quattro lati. Il parallelogramma ha i lati opposti uguali, cioè due lati di $12$ cm e due lati obliqui di $6$ cm. Il perimetro è quindi il doppio di $12 + 6 = 18$ , cioè $36$ cm.

Esercizio 2

Un triangolo ha area $30\ \text{cm}^2$ e base $12$ cm. Calcola l’altezza relativa a quella base.

\frac{12 \cdot h}{2} = 30

12 \cdot h = 2 \cdot 30 = 60

h = \frac{60}{12} = 5\ \text{cm}

L’area del triangolo è base per altezza diviso $2$ . Se metà del prodotto $12 \cdot h$ vale $30$ , il prodotto intero vale il doppio, cioè $60$ . L’altezza è quindi il numero che moltiplicato per $12$ dà $60$ , e poiché $12 \cdot 5 = 60$ l’altezza misura $5$ cm.

Per controllare si rifà il calcolo dell’area con $h = 5$ . Si ottiene $\dfrac{12 \cdot 5}{2} = \dfrac{60}{2} = 30$ , che è l’area data.

Esercizio 3

Un rombo ha le diagonali di $12$ cm e $9$ cm. Calcola l’area.

A = \frac{D \cdot d}{2} = \frac{12 \cdot 9}{2} = \frac{108}{2} = 54\ \text{cm}^2

Il rombo occupa metà del rettangolo che ha per lati le sue diagonali, quindi la sua area è il prodotto delle diagonali diviso $2$ . Il prodotto è $12 \cdot 9 = 108$ , e la metà di $108$ è $54$ . L’area del rombo è perciò $54\ \text{cm}^2$ .

Esercizio 4

Un trapezio ha la base maggiore di $14$ cm, la base minore di $6$ cm e l’altezza di $5$ cm. Calcola l’area.

\begin{aligned} A &= \frac{(B + b) \cdot h}{2} \\[6pt] &= \frac{(14 + 6) \cdot 5}{2} \\[6pt] &= \frac{20 \cdot 5}{2} \\[6pt] &= \frac{100}{2} = 50\ \text{cm}^2 \end{aligned}

Il trapezio con basi di

14

cm e

6

cm e altezza di

5

cm ha area

\frac{( 14 + 6 ) \cdot 5}{2} = 50 cm^{2}

Un trapezio e una sua copia ruotata di mezzo giro formano un parallelogramma con base $B + b$ e altezza $h$ . L’area del trapezio è quindi metà dell’area di questo parallelogramma, cioè $\dfrac{(B + b) \cdot h}{2}$ .

La somma delle basi è $14 + 6 = 20$ , e il prodotto per l’altezza è $20 \cdot 5 = 100$ . La metà di $100$ è $50$ , perciò l’area del trapezio è $50\ \text{cm}^2$ .