Esercizi svolti · Scheda 5

Applicazioni del teorema di Pitagora

Teoria usata: Teorema di Pitagora Terne pitagoriche Diagonale del rettangolo e altezza del triangolo isoscele Lati e angoli dei triangoli isosceli e rettangoli

Vai a: Esercizio 1 Esercizio 2 Esercizio 3 Esercizio 4

Esercizio 1

I cateti di un triangolo rettangolo misurano $12$ cm e $16$ cm. Calcola l’ipotenusa.

\begin{aligned} c &= \sqrt{12^2 + 16^2} \\[6pt] &= \sqrt{144 + 256} \\[6pt] &= \sqrt{400} \\[6pt] &= 20\ \text{cm} \end{aligned}

Per il teorema di Pitagora il quadrato dell’ipotenusa è uguale alla somma dei quadrati dei cateti. I quadrati dei cateti sono $12 \cdot 12 = 144$ e $16 \cdot 16 = 256$ , e la loro somma è $400$ . L’ipotenusa è quindi il numero il cui quadrato è $400$ , cioè $\sqrt{400} = 20$ , perché $20 \cdot 20 = 400$ .

Il risultato si riconosce anche con le terne pitagoriche. I cateti $12$ e $16$ sono $4 \cdot 3$ e $4 \cdot 4$ , quindi il triangolo ha i lati della terna $(3, 4, 5)$ moltiplicati per $4$ , e l’ipotenusa è $4 \cdot 5 = 20$ . L’ipotenusa misura $20$ cm.

Esercizio 2

Un triangolo rettangolo ha l’ipotenusa di $25$ cm e un cateto di $7$ cm. Calcola l’altro cateto.

\begin{aligned} a &= \sqrt{25^2 - 7^2} \\[6pt] &= \sqrt{625 - 49} \\[6pt] &= \sqrt{576} \\[6pt] &= 24\ \text{cm} \end{aligned}

Dal teorema di Pitagora, $a^2 + 7^2 = 25^2$ . Il quadrato del cateto cercato si ottiene quindi sottraendo dal quadrato dell’ipotenusa il quadrato del cateto noto, cioè $625 - 49 = 576$ . Il cateto è perciò $\sqrt{576}$ , e poiché $24 \cdot 24 = 576$ si ha $\sqrt{576} = 24$ .

L’altro cateto misura $24$ cm. Il risultato è minore dell’ipotenusa, e questo è coerente con il fatto che in un triangolo rettangolo l’ipotenusa è il lato più lungo.

Esercizio 3

Un rettangolo ha i lati di $8$ cm e $15$ cm. Calcola la diagonale.

\begin{aligned} d &= \sqrt{8^2 + 15^2} \\[6pt] &= \sqrt{64 + 225} \\[6pt] &= \sqrt{289} \\[6pt] &= 17\ \text{cm} \end{aligned}

La diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli, nei quali i cateti sono i lati del rettangolo e l’ipotenusa è la diagonale. Per il teorema di Pitagora il quadrato della diagonale è $64 + 225 = 289$ . Poiché $17 \cdot 17 = 289$ , la diagonale misura $17$ cm. I tre numeri $8$ , $15$ e $17$ formano una delle terne pitagoriche più comuni.

Esercizio 4

Un triangolo isoscele ha la base di $16$ cm e i lati obliqui di $10$ cm. Calcola l’altezza relativa alla base, l’area e il perimetro.

\frac{16}{2} = 8\ \text{cm}

h = \sqrt{10^2 - 8^2} = \sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6\ \text{cm}

A = \frac{16 \cdot 6}{2} = \frac{96}{2} = 48\ \text{cm}^2

2p = 16 + 10 + 10 = 36\ \text{cm}

L'altezza divide il triangolo isoscele in due triangoli rettangoli con ipotenusa di

10

cm e un cateto di

8

cm, quindi l'altezza misura

6

In un triangolo isoscele l’altezza relativa alla base arriva nel punto medio della base, e divide il triangolo in due triangoli rettangoli uguali. In ciascuno di essi l’ipotenusa è il lato obliquo di $10$ cm e un cateto è metà della base, cioè $8$ cm. L’altro cateto è l’altezza, e per il teorema di Pitagora vale $\sqrt{100 - 64} = \sqrt{36} = 6$ cm.

Nota l’altezza, l’area del triangolo è base per altezza diviso $2$ . Il prodotto è $16 \cdot 6 = 96$ , e la metà è $48$ , quindi l’area è $48\ \text{cm}^2$ . Il perimetro è la somma dei tre lati, cioè $16 + 10 + 10 = 36$ cm.