Esercizi svolti · Scheda 8

Problemi risolti con le disequazioni

Teoria usata: Dal testo alla disequazione Principi di equivalenza delle disequazioni Sistema di disequazioni Intervalli

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Esercizio 1

Marta ha $20$ euro. Deve comprare un quaderno da $3{,}50$ euro e con il resto vuole comprare delle penne da $1{,}50$ euro l’una. Quante penne può comprare al massimo?

3{,}5 + 1{,}5\,x \leq 20

\begin{aligned} 1{,}5\,x &\leq 20 - 3{,}5 \\[6pt] 1{,}5\,x &\leq 16{,}5 \\[6pt] x &\leq \frac{16{,}5}{1{,}5} \\[6pt] x &\leq 11 \end{aligned}

Marta può comprare al massimo $11$ penne.

Si indica con $x$ il numero di penne. Le penne costano $1{,}50$ euro l’una, quindi $x$ penne costano $1{,}5\,x$ euro, e con il quaderno la spesa è $3{,}5 + 1{,}5\,x$ euro. L’espressione al massimo $20$ euro si traduce con il simbolo $\leq$ .

Trasportando $3{,}5$ al secondo membro si ottiene $20 - 3{,}5 = 16{,}5$ . Il coefficiente $1{,}5$ è positivo, quindi dividendo per $1{,}5$ il verso resta lo stesso. Per calcolare $\dfrac{16{,}5}{1{,}5}$ si moltiplicano numeratore e denominatore per $10$ e si ottiene $\dfrac{165}{15} = 11$ .

Il numero di penne è un numero intero, e il più grande intero che soddisfa $x \leq 11$ è $11$ . Per controllo, $11$ penne costano $16{,}50$ euro e con il quaderno la spesa è esattamente $20$ euro; con $12$ penne la spesa sarebbe $3{,}50 + 18 = 21{,}50$ euro. Quindi Marta può comprare al massimo $11$ penne.

Esercizio 2

Un negozio noleggia biciclette con due tariffe. Con la tariffa A si pagano $3$ euro per ogni ora. Con la tariffa B si pagano $5$ euro all’inizio e poi $2$ euro per ogni ora. Per quante ore di noleggio la tariffa B costa meno della tariffa A? Le ore si contano intere.

5 + 2x < 3x

\begin{aligned} 2x - 3x &< -5 \\[6pt] -x &< -5 \\[6pt] x &> 5 \end{aligned}

La tariffa B costa meno a partire da $6$ ore di noleggio.

Si indica con $x$ il numero di ore. Con la tariffa A si spendono $3x$ euro, con la tariffa B si spendono $5 + 2x$ euro. La richiesta che la tariffa B costi meno si traduce con il simbolo $<$ , con il costo della tariffa B al primo membro.

Trasportando $3x$ al primo membro e $5$ al secondo si ottiene $-x < -5$ . Moltiplicando per $-1$ il verso si inverte, quindi $x > 5$ .

Il numero $5$ è escluso, perché con $5$ ore le due tariffe costano entrambe $15$ euro. Le ore sono intere, quindi il primo numero che soddisfa $x > 5$ è $6$ . Con $6$ ore la tariffa A costa $18$ euro e la tariffa B costa $5 + 12 = 17$ euro. Perciò la tariffa B costa meno a partire da $6$ ore.

Esercizio 3

Per la luce di casa ci sono due offerte. L’offerta A costa $12$ euro al mese più $0{,}20$ euro per ogni kWh consumato. L’offerta B non ha costi fissi e costa $0{,}26$ euro per ogni kWh. Per quali consumi mensili l’offerta A costa meno dell’offerta B?

12 + 0{,}2\,x < 0{,}26\,x

\begin{aligned} 0{,}2\,x - 0{,}26\,x &< -12 \\[6pt] -0{,}06\,x &< -12 \\[6pt] x &> \frac{-12}{-0{,}06} \\[6pt] x &> 200 \end{aligned}

L’offerta A costa meno quando il consumo supera $200$ kWh al mese.

Si indica con $x$ il consumo mensile in kWh. Con l’offerta A si pagano $12 + 0{,}2\,x$ euro e con l’offerta B si pagano $0{,}26\,x$ euro. Si vuole che la prima spesa sia minore della seconda.

Trasportando $0{,}26\,x$ al primo membro si ottiene $0{,}2\,x - 0{,}26\,x = -0{,}06\,x$ , e trasportando $12$ al secondo membro si ottiene $-12$ . Il coefficiente $-0{,}06$ è negativo, quindi dividendo per $-0{,}06$ il verso si inverte. Il quoziente di due numeri negativi è positivo, e $\dfrac{12}{0{,}06} = \dfrac{1200}{6} = 200$ , moltiplicando numeratore e denominatore per $100$ .

Le soluzioni sono $x > 200$ . Il consumo $200$ kWh è escluso, perché con questo consumo le due offerte costano entrambe $52$ euro. Infatti $12 + 0{,}2 \cdot 200 = 12 + 40 = 52$ e $0{,}26 \cdot 200 = 52$ . Perciò l’offerta A costa meno per consumi superiori a $200$ kWh al mese.

Esercizio 4

Un rettangolo ha un lato più lungo dell’altro di $4$ cm. Il suo perimetro deve essere almeno $20$ cm e al massimo $32$ cm. Quali valori può avere il lato più corto?

2p = 2\,\big( x + (x + 4) \big) = 4x + 8

\begin{cases} 4x + 8 \geq 20 \\ 4x + 8 \leq 32 \end{cases}

\begin{cases} 4x \geq 12 \\ 4x \leq 24 \end{cases} \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{cases} x \geq 3 \\ x \leq 6 \end{cases}

Il lato più corto può misurare da $3$ cm a $6$ cm, estremi inclusi, cioè $3 \leq x \leq 6$ .

Si indica con $x$ la misura in cm del lato più corto, quindi l’altro lato misura $x + 4$ . Il perimetro $2p$ è il doppio della somma dei due lati diversi, cioè $2(2x + 4) = 4x + 8$ .

Il testo pone due condizioni che devono valere insieme. L’espressione almeno $20$ cm si traduce con $\geq 20$ e al massimo $32$ cm con $\leq 32$ . Perciò si scrive un sistema. Nella prima disequazione si trasporta $8$ e si ottiene $4x \geq 12$ ; dividendo per $4$ , che è positivo, $x \geq 3$ . Nella seconda si ottiene allo stesso modo $4x \leq 24$ , cioè $x \leq 6$ .

I numeri comuni alle due condizioni sono $3 \leq x \leq 6$ . Una lunghezza deve essere positiva, e tutti questi valori lo sono, quindi la risposta ha senso. Per controllo, con $x = 3$ i lati sono $3$ cm e $7$ cm e il perimetro è $20$ cm; con $x = 6$ i lati sono $6$ cm e $10$ cm e il perimetro è $32$ cm.