Disequazioni con un prodotto o un quoziente

Si studia il segno di ciascun fattore. Il fattore $x-2$ è positivo per $x>2$ e il fattore $x+4$ è positivo per $x>-4$. I numeri $-4$ e $2$, in cui i fattori valgono zero, dividono la retta in tre tratti.

Nello schema dei segni ogni fattore ha il segno meno a sinistra del proprio zero e il segno più a destra. Nell’ultima riga si applica la regola dei segni. Nel primo tratto i due fattori sono negativi e il prodotto è positivo; nel tratto centrale i fattori hanno segni diversi e il prodotto è negativo; nel terzo tratto sono entrambi positivi e il prodotto è positivo.

La disequazione è soddisfatta dove il prodotto è negativo, quindi le soluzioni sono nel tratto centrale. Il simbolo è $<$, perciò $-4$ e $2$, dove il prodotto vale zero, sono esclusi. Per controllo, con $x=0$ il prodotto vale $(-2)\cdot 4=-8$, che è negativo.

Il fattore $3-x$ ha il coefficiente di $x$ negativo. La disequazione $3-x>0$ diventa $-x>-3$, e moltiplicando per $-1$ il verso si inverte, quindi $x<3$. Perciò questo fattore è positivo a sinistra di $3$ e negativo a destra, e nello schema la sua riga ha i segni al contrario rispetto al solito.

Il fattore $2x+1$ è positivo per $2x>-1$, cioè per $x>-\frac{1}{2}$. Il numero $-\frac{1}{2}$ è minore di $3$, quindi nello schema viene prima.

Il prodotto è positivo solo nel tratto centrale, dove i due fattori sono entrambi positivi. Il simbolo è $\ge$, perciò si aggiungono anche i numeri in cui il prodotto vale zero, cioè $-\frac{1}{2}$ e $3$. Le soluzioni sono $-\frac{1}{2}\le x\le 3$.

La disequazione è fratta, perché la $x$ compare al denominatore. Una frazione ha senso solo con il denominatore diverso da zero, quindi la condizione di esistenza è $x\ne 1$.

Il segno di un quoziente segue la stessa regola dei segni del prodotto, quindi si studiano separatamente il numeratore e il denominatore. Il numeratore $x+3$ è positivo per $x>-3$ e il denominatore $x-1$ è positivo per $x>1$.

Il quoziente è positivo quando numeratore e denominatore hanno lo stesso segno, cioè per $x<-3$ e per $x>1$. Il simbolo è $>$, quindi il numero $-3$, dove il numeratore vale zero, è escluso; il numero $1$ è escluso per la condizione di esistenza. Per controllo, con $x=-5$ il quoziente vale $\frac{-2}{-6}=\frac{1}{3}$, che è positivo.

La condizione di esistenza è $x+2\ne 0$, cioè $x\ne -2$. Il numeratore $2x-6$ è positivo per $2x>6$, cioè per $x>3$, e il denominatore $x+2$ è positivo per $x>-2$.

Il quoziente è negativo nel tratto centrale, dove numeratore e denominatore hanno segni diversi. Il simbolo è $\le$, quindi va aggiunto il numero in cui il quoziente vale zero. Una frazione vale zero quando vale zero il suo numeratore, cioè per $x=3$, e questo numero è incluso.

Il numero $-2$ invece annulla il denominatore e resta escluso, anche se il simbolo contiene l’uguale, perché per $x=-2$ la frazione non ha senso. Le soluzioni sono quindi $-2<x\le 3$.