Media ponderata e media da una tabella

Theory used: Media ponderata media di gruppi Frequenza assoluta

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Esercizio 1

Un candidato ha sostenuto cinque prove: in tre ha ottenuto $24$ e in due ha ottenuto $29$ . La media dei cinque voti è:

A) $26$
B) $26{,}5$
C) $27$
D) $25$
E) $130$

\bar{x} = \frac{24 \cdot 3 + 29 \cdot 2}{5} = \frac{72 + 58}{5} = \frac{130}{5} = 26

Il voto $24$ compare tre volte e il voto $29$ due volte, quindi si calcola la media ponderata con pesi $3$ e $2$ . La somma dei cinque voti è $130$ , perciò la media è $26$ . L’opzione B è la media dei due valori $24$ e $29$ presi una volta sola, e trascura che $24$ compare più spesso; la media corretta è infatti più vicina a $24$ . L’opzione E è la somma. La risposta corretta è la A.

Esercizio 2

La tabella riporta il numero di figli di $20$ famiglie.

figli	$0$	$1$	$2$	$3$
famiglie	$5$	$8$	$5$	$2$

Il numero medio di figli per famiglia è:

A) $1{,}5$
B) $5$
C) $1{,}2$
D) $1{,}6$
E) $24$

\bar{x} = \frac{0 \cdot 5 + 1 \cdot 8 + 2 \cdot 5 + 3 \cdot 2}{20} = \frac{24}{20} = 1{,}2

Ogni numero di figli si moltiplica per la sua frequenza, che fa da peso, e la somma dei prodotti è il numero totale di figli, cioè $24$ . Si divide per il numero delle famiglie, $20$ , quindi la media è $1{,}2$ . L’opzione A è la media dei valori $0$ , $1$ , $2$ , $3$ senza pesi; l’opzione B è la media delle frequenze; l’opzione D divide per le sole $15$ famiglie con figli. La risposta corretta è la C.

Esercizio 3

In un concorso i $20$ candidati della sede di Milano hanno ottenuto il punteggio medio $6{,}5$ , e i $30$ candidati della sede di Napoli il punteggio medio $7$ . Il punteggio medio di tutti i $50$ candidati è:

A) $6{,}75$
B) $7$
C) $6{,}7$
D) $6{,}85$
E) $6{,}8$

\begin{aligned} \bar{x} &= \frac{6{,}5 \cdot 20 + 7 \cdot 30}{50} \\[6pt] &= \frac{130 + 210}{50} \\[6pt] &= \frac{340}{50} = 6{,}8 \end{aligned}

La media di due gruppi riuniti è la media ponderata delle due medie, con pesi uguali al numero dei candidati di ciascun gruppo. La somma dei punteggi è $130$ a Milano e $210$ a Napoli, quindi la media complessiva è $\dfrac{340}{50} = 6{,}8$ . Il gruppo di Napoli è più numeroso, perciò la media complessiva è più vicina a $7$ che a $6{,}5$ . L’opzione A è la media delle due medie, e l’opzione C scambia i pesi dei due gruppi. La risposta corretta è la E.