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Theory

Geometria piana e solida

Angoli, triangoli e teorema di Pitagora, perimetri e aree delle figure piane, cerchio, similitudine, superfici e volumi dei solidi e primi elementi del piano cartesiano, con i metodi per risolvere in fretta i quesiti dei concorsi.

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Angoli
Triangoli e poligoni

Angoli

1. Angolo e sua misura

Un angolo è ciascuna delle due parti di piano delimitate da due semirette che hanno la stessa origine; l’origine si chiama vertice e le semirette lati. Gli angoli si misurano in gradi: l’angolo giro, cioè l’intero piano attorno al vertice, misura $360^\circ$ . Ne seguono le misure degli angoli che compaiono più spesso:

l’angolo piatto, i cui lati formano una retta, è metà dell’angolo giro e misura $180^\circ$ ;
l’angolo retto è metà dell’angolo piatto e misura $90^\circ$ ;
un angolo è acuto se misura meno di $90^\circ$ e ottuso se misura più di $90^\circ$ e meno di $180^\circ$ .

Le misure in gradi permettono di trattare gli angoli come numeri. Per esempio, l’angolo di cui ruota la lancetta dei minuti in $20$ minuti è $\dfrac{20}{60} \cdot 360^\circ = 120^\circ$ , perché in $60$ minuti la lancetta compie un giro intero.

2. Angoli complementari e supplementari

Due angoli sono complementari se la loro somma è $90^\circ$ e supplementari se la loro somma è $180^\circ$ . Il complementare di un angolo $\alpha$ misura quindi $90^\circ - \alpha$ e il supplementare misura $180^\circ - \alpha$ . Il complementare di $35^\circ$ è $55^\circ$ e il supplementare di $35^\circ$ è $145^\circ$ . Queste due definizioni servono in quasi tutti i quesiti sugli angoli, perché permettono di ricavare un angolo incognito da uno noto. Il supplementare di un angolo acuto supera il suo complementare di $90^\circ$ , dato che $(180^\circ - \alpha) - (90^\circ - \alpha) = 90^\circ$ .

3. Angoli opposti al vertice

Due rette che si incontrano in un punto formano quattro angoli. Gli angoli che hanno i lati uno sul prolungamento dell’altro si dicono opposti al vertice, e due angoli opposti al vertice sono uguali. Infatti ciascuno dei due è supplementare dello stesso angolo vicino $\beta$ , quindi entrambi misurano $180^\circ - \beta$ . Se uno dei quattro angoli misura $50^\circ$ , gli altri misurano $130^\circ$ , $50^\circ$ e $130^\circ$ .

Due rette incidenti formano due coppie di angoli opposti al vertice; ogni angolo

α

è supplementare di ciascuno dei due angoli

β

vicini

4. Rette parallele tagliate da una trasversale

Due rette parallele $r$ e $s$ tagliate da una terza retta $t$ , detta trasversale, formano otto angoli. Tra questi valgono le uguaglianze seguenti:

gli angoli alterni interni, che stanno tra le due parallele e da parti opposte della trasversale, sono uguali;
gli angoli corrispondenti, che occupano la stessa posizione rispetto a $r$ e rispetto a $s$ , sono uguali;
gli angoli coniugati interni, che stanno tra le due parallele e dalla stessa parte della trasversale, sono supplementari.

Di conseguenza gli otto angoli assumono soltanto due misure, $\alpha$ e $180^\circ - \alpha$ . Se la trasversale forma con $r$ un angolo di $60^\circ$ , ogni angolo della figura misura $60^\circ$ oppure $120^\circ$ .

Due rette parallele

r

s

tagliate dalla trasversale

t

: i tre angoli indicati con

α

sono uguali perché alterni interni o corrispondenti, mentre

α

β

sono supplementari

Dimostrazione

Una traslazione che porta $r$ su $s$ lungo la trasversale non cambia gli angoli, perciò gli angoli corrispondenti sono uguali. Un angolo alterno interno è opposto al vertice di un angolo corrispondente, quindi è uguale anch’esso. Un angolo coniugato interno è supplementare dell’angolo vicino, che è alterno interno dell’altro, perciò i due coniugati interni hanno somma $180^\circ$ .

Triangoli e poligoni

1. Somma degli angoli interni di un triangolo

In ogni triangolo la somma degli angoli interni è $180^\circ$ . Noti due angoli, il terzo si ottiene per differenza: in un triangolo con angoli di $48^\circ$ e $77^\circ$ il terzo angolo misura $180^\circ - 48^\circ - 77^\circ = 55^\circ$ .

Dimostrazione

Si traccia per il vertice $C$ la retta parallela al lato $AB$ . Gli angoli che questa retta forma con i lati $CA$ e $CB$ sono alterni interni degli angoli $\alpha$ in $A$ e $\beta$ in $B$ , quindi sono uguali a $\alpha$ e a $\beta$ . Insieme all’angolo $\gamma$ in $C$ formano un angolo piatto, perciò $\alpha + \beta + \gamma = 180^\circ$ .

La retta tratteggiata passa per

C

ed è parallela ad

A B

; i suoi angoli con i lati

C A

C B

sono alterni interni di

α

e di

β

, quindi in

C

si ha

α + γ + β = 18 0^{\circ}

2. Classificazione dei triangoli

Rispetto ai lati, un triangolo è equilatero se ha tre lati uguali, isoscele se ne ha almeno due uguali, scaleno se ha i tre lati diversi. Rispetto agli angoli, un triangolo è acutangolo se ha tre angoli acuti, rettangolo se ha un angolo retto, ottusangolo se ha un angolo ottuso. In un triangolo rettangolo i due lati che formano l’angolo retto si chiamano cateti e il lato opposto ipotenusa.

Le due classificazioni danno informazioni sugli angoli. In un triangolo isoscele gli angoli alla base sono uguali, quindi se l’angolo al vertice misura $40^\circ$ ciascun angolo alla base misura $\dfrac{180^\circ - 40^\circ}{2} = 70^\circ$ . In un triangolo equilatero i tre angoli sono uguali e perciò misurano $60^\circ$ ciascuno. In un triangolo rettangolo i due angoli acuti sono complementari.

3. Somma degli angoli interni di un poligono

In un poligono convesso con $n$ lati la somma degli angoli interni è

(n - 2) \cdot 180^\circ .

Le diagonali che partono da un vertice dividono infatti il poligono in $n - 2$ triangoli, e gli angoli di questi triangoli formano insieme gli angoli del poligono. Un esagono ha quindi angoli interni con somma $4 \cdot 180^\circ = 720^\circ$ . In un poligono regolare, cioè con lati e angoli tutti uguali, ogni angolo interno misura $\dfrac{(n - 2) \cdot 180^\circ}{n}$ : nell’esagono regolare è $\dfrac{720^\circ}{6} = 120^\circ$ .

Le due diagonali uscenti da un vertice dividono il pentagono in

5 - 2 = 3

triangoli, quindi la somma degli angoli interni è

3 \cdot 18 0^{\circ} = 54 0^{\circ}

Angoli esterni di un poligono

In ogni vertice l’angolo esterno è il supplementare dell’angolo interno. La somma degli angoli esterni di un poligono convesso è $360^\circ$ per qualunque numero di lati, perché vale $n \cdot 180^\circ - (n - 2) \cdot 180^\circ = 360^\circ$ . In un poligono regolare ogni angolo esterno misura quindi $\dfrac{360^\circ}{n}$ . Questa uguaglianza dà il numero dei lati di un poligono regolare noto il suo angolo interno: se l’angolo interno è $150^\circ$ , l’angolo esterno è $30^\circ$ , e perciò il poligono ha $\dfrac{360}{30} = 12$ lati.

The theory continues with 7 more sections (teorema di pitagora, quadrilateri perimetri e aree, circonferenza e cerchio…), plus all worked examples, the solutions and the PDF.

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