Equazioni e problemi

Come si calcola con le espressioni letterali, come si risolvono le equazioni di primo e di secondo grado, i sistemi di due equazioni e le disequazioni di primo grado, e come si traduce in equazione il testo di un problema su numeri, età, eredità, monete e prezzi.

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Espressioni letterali
Prodotti notevoli

Espressioni letterali

1. Espressione letterale

Un’espressione letterale è un’espressione in cui alcuni numeri sono indicati con lettere. Ogni lettera rappresenta un numero qualsiasi, e sostituendo alle lettere dei numeri si ottiene il valore dell’espressione. Per $a = 4$ e $b = -1$ l’espressione $3a + 2b$ vale

3 \cdot 4 + 2 \cdot (-1) = 12 - 2 = 10 .

Le espressioni letterali servono a scrivere in una sola formula un calcolo che si ripete con numeri diversi. Il costo di $n$ biglietti da $8$ euro con $2$ euro di commissione fissa è $8n + 2$ euro, e per $n = 5$ vale $42$ euro.

2. Monomi e monomi simili

Un monomio è il prodotto di un numero, detto coefficiente, e di lettere con esponente naturale. In $-5a^2b$ il coefficiente è $-5$ e la parte letterale è $a^2b$ . Due monomi sono simili se hanno la stessa parte letterale.

La somma di monomi simili è il monomio simile che ha per coefficiente la somma dei coefficienti, per esempio $3x^2 + 5x^2 = 8x^2$ . I monomi $3x^2$ e $5x$ non sono simili, quindi la loro somma resta $3x^2 + 5x$ .
Il prodotto di due monomi ha per coefficiente il prodotto dei coefficienti, e ogni lettera ha per esponente la somma dei suoi esponenti: $(2a^2b) \cdot (3ab^3) = 6a^3b^4$ .

La regola sugli esponenti segue dal significato di potenza, perché $a^2 \cdot a = a \cdot a \cdot a = a^3$ .

3. Polinomi e loro prodotto

Un polinomio è una somma di monomi, come $2x^2 - 3x + 1$ . Per semplificarlo si sommano tra loro i monomi simili, e l’operazione si chiama riduzione dei termini simili. Il prodotto di due polinomi si calcola con la proprietà distributiva, moltiplicando ogni termine del primo per ogni termine del secondo:

\begin{aligned} (x + 3)(2x - 1) &= 2x^2 - x + 6x - 3 \\[6pt] &= 2x^2 + 5x - 3 . \end{aligned}

Un segno meno davanti a un’espressione cambia il segno di tutti i suoi termini, quindi $5x - (2x - 4) = 5x - 2x + 4 = 3x + 4$ . Questi calcoli servono a ridurre un’equazione alla forma più semplice prima di risolverla.

Attenzione

Il segno meno davanti all’espressione $x - 3$ cambia il segno di entrambi i termini, quindi $7 - (x - 3) = 10 - x$ . Cambiando il segno solo al primo termine si scrive $7 - x - 3 = 4 - x$ , che è un’altra espressione. Per $x = 1$ , infatti, la prima vale $9$ e la seconda vale $3$ .

Prodotti notevoli

Per ogni coppia di numeri $a$ e $b$ valgono le uguaglianze

\begin{aligned} (a + b)^2 &= a^2 + 2ab + b^2 , \\[6pt] (a - b)^2 &= a^2 - 2ab + b^2 , \\[6pt] (a + b)(a - b) &= a^2 - b^2 . \end{aligned}

Si ottengono sviluppando il prodotto con la proprietà distributiva. Per esempio $(a + b)(a + b) = a^2 + ab + ba + b^2$ , e i due termini $ab$ e $ba$ formano il doppio prodotto $2ab$ . Le formule accorciano i calcoli con le lettere e anche alcuni calcoli a mente:

103^2 = (100 + 3)^2 = 10\,000 + 600 + 9 = 10\,609 ,

51 \cdot 49 = (50 + 1)(50 - 1) = 2500 - 1 = 2499 .

Il quadrato di lato

a + b

è formato dai quadrati

a^{2}

b^{2}

e da due rettangoli di area

ab

, quindi

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 ab + b^{2}

. Con

a = 3

b = 2

le parti valgono

9

4

6

6

, e la loro somma è

25 = 5^{2}

Attenzione

Il quadrato di una somma non è la somma dei quadrati. Con $a = 3$ e $b = 2$ si ha $(3 + 2)^2 = 25$ , mentre $3^2 + 2^2 = 13$ ; la differenza $12$ è il doppio prodotto $2 \cdot 3 \cdot 2$ . Nei quiz l’opzione $a^2 + b^2$ compare spesso proprio per questo errore.

Raccoglimento e scomposizione

Lette da destra verso sinistra, le formule permettono di scrivere un polinomio come prodotto, cioè di scomporlo.

Il raccoglimento a fattore comune porta fuori il fattore presente in tutti i termini: $4x^2 + 6x = 2x\,(2x + 3)$ .
La differenza di due quadrati è il prodotto della loro somma per la loro differenza: $x^2 - 9 = (x + 3)(x - 3)$ .
Un trinomio formato da due quadrati e dal loro doppio prodotto è il quadrato di un binomio: $x^2 - 10x + 25 = (x - 5)^2$ .

La scomposizione serve a risolvere le equazioni di secondo grado incomplete e a semplificare le frazioni con le lettere. Per esempio, per $x \neq 3$ si ha $\dfrac{x^2 - 9}{x - 3} = x + 3$ .

The theory continues with 6 more sections (equazioni di primo grado, dal testo allequazione, sistemi di due equazioni lineari…), plus all worked examples, the solutions and the PDF.

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