Probabilità con dadi e monete

Theory used: Probabilità classica Monete e dadi Esperimento aleatorio e spazio degli eventi

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Esercizio 1

Lanciando un dado non truccato a sei facce, la probabilità di ottenere un numero maggiore di $4$ è:

A) $\dfrac{1}{2}$
B) $\dfrac{2}{3}$
C) $\dfrac{1}{3}$
D) $\dfrac{1}{6}$
E) $\dfrac{1}{4}$

\text{casi favorevoli} = \{5, 6\}, \qquad P = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}

Il dado non è truccato, quindi le sei facce sono equiprobabili e si applica la definizione classica di probabilità. I numeri maggiori di $4$ sono soltanto $5$ e $6$ , perché $4$ non è maggiore di sé stesso. Perciò i casi favorevoli sono $2$ su $6$ e la probabilità è $\dfrac{1}{3}$ . L’opzione A conta anche il $4$ , cioè risponde alla domanda “maggiore o uguale a $4$ ”. La risposta corretta è la C.

Esercizio 2

Si lanciano due dadi non truccati a sei facce. La probabilità che la somma dei due numeri usciti sia $8$ è:

A) $\dfrac{1}{7}$
B) $\dfrac{5}{36}$
C) $\dfrac{1}{11}$
D) $\dfrac{1}{6}$
E) $\dfrac{1}{9}$

\text{casi possibili} = 6 \cdot 6 = 36

\text{casi favorevoli}:\ (2, 6),\ (3, 5),\ (4, 4),\ (5, 3),\ (6, 2)

P = \frac{5}{36}

36

coppie ordinate

(a, b)

del lancio di due dadi; i

5

punti pieni sono le coppie con somma

8

I casi equiprobabili sono le $36$ coppie ordinate, in cui il primo numero è quello del primo dado e il secondo quello del secondo. Le coppie con somma $8$ sono cinque, perché $(2, 6)$ e $(6, 2)$ sono risultati distinti, mentre $(4, 4)$ si conta una volta sola. Quindi la probabilità è $\dfrac{5}{36}$ . L’opzione C tratta come equiprobabili le $11$ somme da $2$ a $12$ , e l’opzione A conta le coppie senza ordine, cioè $3$ casi favorevoli su $21$ . La risposta corretta è la B.

Esercizio 3

Per assegnare il turno del sabato in un ufficio, il responsabile lancia ogni settimana una moneta regolare e assegna il turno a Luca se esce testa, a Marta se esce croce. La probabilità che, in $4$ settimane, a Luca tocchino esattamente due turni è:

A) $\dfrac{1}{2}$
B) $\dfrac{1}{4}$
C) $\dfrac{1}{5}$
D) $\dfrac{3}{8}$
E) $\dfrac{1}{16}$

\text{casi possibili} = 2^4 = 16

TTCC,\quad TCTC,\quad TCCT,\quad CTTC,\quad CTCT,\quad CCTT

P = \frac{6}{16} = \frac{3}{8}

A Luca toccano esattamente due turni quando escono esattamente due teste in $4$ lanci. Un risultato è la sequenza ordinata dei quattro esiti, e ogni lancio ha $2$ esiti, quindi le sequenze equiprobabili sono $2^4 = 16$ . Le sequenze con esattamente due teste sono $6$ , perché si tratta di scegliere le $2$ posizioni delle teste tra le $4$ , cioè $C_{4,2} = 6$ , come si vede nell’argomento sul calcolo combinatorio. Perciò la probabilità è $\dfrac{6}{16} = \dfrac{3}{8}$ . L’opzione A suppone che due teste su quattro lanci abbiano probabilità $\dfrac{1}{2}$ perché sono “la metà”, e l’opzione C tratta come equiprobabili i $5$ possibili numeri di teste, da $0$ a $4$ . La risposta corretta è la D.