Teorema di Pitagora

Theory used: Teorema di Pitagora Terne pitagoriche Perimetri e aree dei poligoni

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Esercizio 1

I cateti di un triangolo rettangolo misurano $9$ cm e $12$ cm. L’ipotenusa misura:

A) $21$ cm
B) $15$ cm
C) $\sqrt{63}$ cm
D) $225$ cm
E) $13$ cm

c = \sqrt{9^2 + 12^2} = \sqrt{81 + 144} = \sqrt{225} = 15

Per il teorema di Pitagora il quadrato dell’ipotenusa è la somma dei quadrati dei cateti, quindi $c^2 = 225$ e $c = 15$ cm. Lo stesso risultato si ottiene senza calcoli osservando che $9$ e $12$ sono $3 \cdot 3$ e $3 \cdot 4$ , perciò il triangolo è un multiplo della terna $(3, 4, 5)$ e l’ipotenusa è $3 \cdot 5$ . L’opzione A è la somma dei cateti e l’opzione D è il quadrato dell’ipotenusa, senza la radice. La risposta corretta è la B.

Esercizio 2

Una scala lunga $2{,}6$ m è appoggiata a un muro verticale, e il suo piede dista $1$ m dalla base del muro. Il pavimento è orizzontale. L’altezza alla quale la scala tocca il muro è:

A) $1{,}6$ m
B) $3{,}6$ m
C) $2{,}8$ m
D) $5{,}76$ m
E) $2{,}4$ m

h = \sqrt{2{,}6^2 - 1^2} = \sqrt{6{,}76 - 1} = \sqrt{5{,}76} = 2{,}4

La scala, il muro e il pavimento formano un triangolo rettangolo con ipotenusa di

2, 6

m e un cateto di

1

Poiché il muro è verticale e il pavimento orizzontale, la scala, il muro e il pavimento formano un triangolo rettangolo in cui la scala è l’ipotenusa. L’altezza $h$ è un cateto, quindi per il teorema di Pitagora si sottrae il quadrato del cateto noto dal quadrato dell’ipotenusa, e si ottiene $h = 2{,}4$ m. Il risultato è la terna $(5, 12, 13)$ moltiplicata per $0{,}2$ . L’opzione C è circa $\sqrt{6{,}76 + 1}$ , cioè nasce dalla somma dei quadrati al posto della differenza, e darebbe un cateto maggiore dell’ipotenusa, che è impossibile; l’opzione D è $h^2$ . La risposta corretta è la E.

Esercizio 3

La diagonale di un rettangolo misura $5$ cm e la base misura $1{,}4$ cm. Il perimetro del rettangolo è:

A) $12{,}4$ cm
B) $6{,}2$ cm
C) $6{,}72$ cm
D) $12{,}8$ cm
E) $9{,}6$ cm

h = \sqrt{5^2 - 1{,}4^2} = \sqrt{25 - 1{,}96} = \sqrt{23{,}04} = 4{,}8

2p = 2 \cdot (1{,}4 + 4{,}8) = 2 \cdot 6{,}2 = 12{,}4

La diagonale divide il rettangolo in due triangoli rettangoli che hanno per cateti la base e l’altezza. Per il teorema di Pitagora l’altezza è $4{,}8$ cm, e il perimetro è il doppio della somma di base e altezza, cioè $12{,}4$ cm. L’opzione B è il semiperimetro, l’opzione C è l’area $1{,}4 \cdot 4{,}8 = 6{,}72$ , e l’opzione D usa la diagonale al posto dell’altezza. La risposta corretta è la A.