Esercizi svolti · Scheda 2

Somme di serie telescopiche

Teoria usata: Serie telescopica Serie, convergenza, somma

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Esercizio 1

Calcolare la somma della serie di Mengoli

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} .

\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}

s_{N} = n = 1 \sum N (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 1}) = 1 - \frac{1}{N + 1} N \to + \infty 1

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 1 )} = 1

Il termine generale si decompone in fratti semplici: cercando $\frac{1}{n ( n + 1 )} = \frac{A}{n} + \frac{B}{n + 1}$ si trova $A = 1$ e $B = - 1$ . La serie è quindi telescopica con $b_{n} = \frac{1}{n}$ : nella somma parziale ogni termine $- \frac{1}{n + 1}$ si cancella con il termine $+ \frac{1}{n + 1}$ dell’addendo successivo, e restano il primo e l’ultimo. Poiché $\frac{1}{N + 1} \to 0$ , le somme parziali tendono a $1$ , quindi la serie converge con somma $1$ .

Esercizio 2

Calcolare la somma della serie

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 2 )} .

\frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{1}{2} (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2})

s_{N} = \frac{1}{2} n = 1 \sum N (\frac{1}{n} - \frac{1}{n + 2}) = \frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2} - \frac{1}{N + 1} - \frac{1}{N + 2}) N \to + \infty \frac{1}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{4}

n = 1 \sum \infty \frac{1}{n ( n + 2 )} = \frac{3}{4}

La decomposizione in fratti semplici dà $A = \frac{1}{2}$ e $B = - \frac{1}{2}$ , quindi si raccoglie $\frac{1}{2}$ . Qui la cancellazione avviene a distanza due: il termine $- \frac{1}{n + 2}$ si cancella con il $+ \frac{1}{n + 2}$ che compare due addendi dopo. Sopravvivono perciò i primi due termini positivi, $1$ e $\frac{1}{2}$ , e gli ultimi due negativi, $- \frac{1}{N + 1}$ e $- \frac{1}{N + 2}$ . Questi ultimi tendono a $0$ , quindi le somme parziali tendono a $\frac{1}{2} (1 + \frac{1}{2}) = \frac{3}{4}$ .

Esercizio 3

Calcolare la somma della serie

n = 2 \sum \infty ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) .

ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = ln \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n ^{2}} = ln \frac{n - 1}{n} - ln \frac{n}{n + 1}

b_{n} = ln \frac{n - 1}{n}, ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = b_{n} - b_{n + 1}

s_{N} = b_{2} - b_{N + 1} = ln \frac{1}{2} - ln \frac{N}{N + 1} N \to + \infty ln \frac{1}{2} - ln 1 = - ln 2

n = 2 \sum \infty ln (1 - \frac{1}{n ^{2}}) = - ln 2

Per $n \geq 2$ l’argomento del logaritmo è positivo, quindi il termine generale è definito. Si fattorizza $1 - \frac{1}{n ^{2}} = \frac{n ^{2} - 1}{n ^{2}} = \frac{( n - 1 ) ( n + 1 )}{n ^{2}}$ e si spezza il logaritmo del prodotto nella somma dei logaritmi. Ponendo $b_{n} = ln \frac{n - 1}{n}$ risulta $b_{n + 1} = ln \frac{n}{n + 1}$ , quindi il termine generale è esattamente $b_{n} - b_{n + 1}$ e la serie è telescopica. La somma parziale vale $b_{2} - b_{N + 1}$ ; poiché $\frac{N}{N + 1} \to 1$ e il logaritmo è continuo, $b_{N + 1} \to ln 1 = 0$ , perciò la serie converge con somma $ln \frac{1}{2} = - ln 2$ .