Esercizi svolti · Scheda 1

Somme di serie geometriche

Teoria usata: Serie geometrica Serie, convergenza, somma

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Esercizio 1

Calcolare la somma della serie

n = 0 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n} .

q = \frac{1}{3}, ∣ q ∣ < 1

n = 0 \sum \infty (\frac{1}{3})^{n} = \frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{1}{\frac{2}{3}} = \frac{3}{2}

La serie è geometrica di ragione $q = \frac{1}{3}$ . Poiché $∣ q ∣ < 1$ , la serie converge e la somma è il primo termine diviso $1 - q$ . Il primo termine è quello di indice $n = 0$ , cioè $1$ , quindi la somma vale $\frac{1}{1 - \frac{1}{3}} = \frac{3}{2}$ .

Esercizio 2

Calcolare la somma della serie

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{5 ^{n + 1}} .

\frac{2 ^{n}}{5 ^{n + 1}} = \frac{1}{5} (\frac{2}{5})^{n}

n = 1 \sum \infty \frac{2 ^{n}}{5 ^{n + 1}} = \frac{1}{5} n = 1 \sum \infty (\frac{2}{5})^{n} = \frac{1}{5} \cdot \frac{\frac{2}{5}}{1 - \frac{2}{5}} = \frac{1}{5} \cdot \frac{2}{3} = \frac{2}{15}

Il termine generale non è ancora nella forma $q^{n}$ , quindi si riscrive: $5^{n + 1} = 5 \cdot 5^{n}$ , perciò $\frac{2 ^{n}}{5 ^{n + 1}} = \frac{1}{5} (\frac{2}{5})^{n}$ . La costante $\frac{1}{5}$ esce dalla somma per la linearità. Resta una serie geometrica di ragione $q = \frac{2}{5}$ , con $∣ q ∣ < 1$ , che parte da $n = 1$ : la somma è il primo termine $\frac{2}{5}$ diviso $1 - q = \frac{3}{5}$ , cioè $\frac{2}{3}$ . Moltiplicando per la costante $\frac{1}{5}$ si ottiene $\frac{2}{15}$ .

Esercizio 3

Calcolare la somma della serie

n = 2 \sum \infty \frac{( - 1 ) ^{n} 3 ^{n}}{4 ^{n}} .

\frac{( - 1 ) ^{n} 3 ^{n}}{4 ^{n}} = (- \frac{3}{4})^{n}, q = - \frac{3}{4}, ∣ q ∣ < 1

n = 2 \sum \infty (- \frac{3}{4})^{n} = \frac{( - \frac{3}{4} ) ^{2}}{1 - ( - \frac{3}{4} )} = \frac{\frac{9}{16}}{\frac{7}{4}} = \frac{9}{16} \cdot \frac{4}{7} = \frac{9}{28}

I fattori $(- 1)^{n}$ , $3^{n}$ e $4^{n}$ hanno lo stesso esponente, quindi il termine generale si raccoglie in un’unica potenza: la ragione è $q = - \frac{3}{4}$ . Poiché $∣ q ∣ = \frac{3}{4} < 1$ , la serie converge anche con ragione negativa. L’indice parte da $n = 2$ , perciò il primo termine è $q^{2} = \frac{9}{16}$ e la somma è il primo termine diviso $1 - q = 1 + \frac{3}{4} = \frac{7}{4}$ . Il risultato è $\frac{9}{28}$ .