Ripetizioni di Analisi Matematica 5° annoSbloccata EN Cerca AccediAccount

Esercizi da fare

Limiti

Tracce da svolgere in autonomia. La soluzione finale compare con il pulsante sotto ogni traccia; ogni esercizio ha anche una pagina propria, da condividere con il link.

1. Dominio, punti isolati e punti di accumulazione

Determina il dominio $D$ della funzione $f(x) = \sqrt{x^2 (x - 3)}$ e stabilisci quali punti di $D$ sono isolati e quali sono di accumulazione.

Soluzione riservata a chi ha sbloccato la materia.

2. Verifica di un limite finito in un punto

Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to 1} (5 - 2x) = 3$ , e determina $\delta$ nel caso $\varepsilon = 0{,}02$ .

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3. Verifica di un limite finito all'infinito

Verifica con la definizione che $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 3}{2x} = \frac{1}{2}$ , e determina da quale valore di $x$ in poi la funzione differisce da $\dfrac{1}{2}$ meno di $0{,}01$ .

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4. Limite nella forma zero su zero di una funzione razionale

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 9}$ .

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5. Limite destro e limite sinistro infiniti

Calcola il limite destro e il limite sinistro di $f(x) = \dfrac{2x - 1}{x^2 - x}$ per $x \to 0$ .

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6. Parametro in una funzione razionale all'infinito

Determina il valore del parametro reale $k$ per il quale $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{k x^3 - x + 2}{5 - 2x^3} = 3$ .

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7. Limite con una differenza di radici all'infinito

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 3x} - \sqrt{x^2 - x} \right)$ .

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8. Limite notevole del seno e della tangente

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{\sin (2x)}{\tan (6x)}$ .

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9. Limite notevole del coseno

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos (4x)}{x^2}$ .

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10. Limiti notevoli dell'esponenziale e del logaritmo

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 0} \frac{e^{4x} - 1}{\ln (1 + 2x)}$ .

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11. Forma indeterminata uno elevato a infinito

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \left( 1 - \frac{3}{x} \right)^{2x}$ .

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12. Ordine di un infinitesimo

Determina l’ordine dell’infinitesimo $f(x) = \sqrt{1 + x^2} - 1$ rispetto a $x$ , per $x \to 0$ .

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13. Gerarchia degli infiniti

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to +\infty} \frac{x^5 + e^{x}}{2e^{x} + \ln x}$ .

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14. Progressione geometrica e somma dei suoi termini

Una progressione geometrica ha primo termine $a_1 = 6$ e ragione $q = -\dfrac{1}{3}$ . Calcola il limite di $a_n$ e il limite della somma $S_n$ dei primi $n$ termini per $n \to +\infty$ .

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