Teoria

Derivate

Che cos'è la derivata di una funzione e che cosa rappresenta nel grafico, come si calcola con la definizione e con le regole di derivazione, quali sono i punti in cui una funzione non è derivabile, che cos'è il differenziale e come si usano le derivate in fisica per velocità, accelerazione e intensità di corrente.

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Rapporto incrementale e derivata
Significato geometrico e retta tangente

Rapporto incrementale e derivata

1. Rapporto incrementale

Sia $f$ una funzione definita in un intervallo $I$ e sia $x_0$ un punto di $I$ . Quando la variabile passa da $x_0$ a $x_0 + h$ , con $h \neq 0$ e $x_0 + h$ in $I$ , il numero $h$ si chiama incremento della variabile e la differenza $f(x_0 + h) - f(x_0)$ si chiama incremento della funzione. Il rapporto incrementale di $f$ in $x_0$ è il quoziente

\frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} .

Nel grafico si considerano i punti $P\big( x_0, f(x_0) \big)$ e $Q\big( x_0 + h, f(x_0 + h) \big)$ . La retta $PQ$ si chiama secante, e il rapporto incrementale è il suo coefficiente angolare, perché è la differenza delle ordinate divisa per la differenza delle ascisse. Per $f(x) = x^2$ , $x_0 = 1$ e $h = 2$ il rapporto incrementale è

\frac{f(3) - f(1)}{2} = \frac{9 - 1}{2} = 4 ,

quindi la secante per $P(1, 1)$ e $Q(3, 9)$ ha coefficiente angolare $4$ ed equazione $y = 4x - 3$ .

y = x^2

y = 4x - 3

La secante per

P (1, 1)

Q (3, 9)

ha coefficiente angolare

\frac{9 - 1}{3 - 1} = 4

, uguale al rapporto incrementale di

x^{2}

x_{0} = 1

con

h = 2

Il rapporto incrementale quando l'incremento diventa piccolo

Per $f(x) = x^2$ e $x_0 = 1$ , con $h$ qualsiasi diverso da $0$ , si ha

\frac{(1 + h)^2 - 1}{h} = \frac{1 + 2h + h^2 - 1}{h} = \frac{h\,(2 + h)}{h} = 2 + h .

Con $h = 2$ il rapporto vale $4$ , con $h = 1$ vale $3$ , con $h = 0{,}1$ vale $2{,}1$ e con $h = 0{,}01$ vale $2{,}01$ . Quando $h$ si avvicina a $0$ il rapporto incrementale si avvicina quindi a $2$ . Questo numero si chiama derivata di $x^2$ in $1$ .

2. Derivata in un punto

Un punto $x_0$ di un intervallo $I$ si dice interno a $I$ se esiste un intorno $I(x_0)$ contenuto in $I$ , cioè se $x_0$ non è un estremo dell’intervallo. Sia $f$ definita in $I$ e sia $x_0$ interno a $I$ . La funzione $f$ è derivabile in $x_0$ se esiste ed è finito il limite del rapporto incrementale per $h \to 0$ . Questo limite si chiama derivata di $f$ in $x_0$ e si indica con $f'(x_0)$ :

f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} .

Si usano anche i simboli $y'(x_0)$ e $\dfrac{df}{dx}(x_0)$ . La derivata misura la rapidità con cui varia $f$ vicino a $x_0$ . Per $f(x) = x^2$ il rapporto incrementale in $1$ è $2 + h$ , quindi $f'(1) = \displaystyle\lim_{h \to 0} (2 + h) = 2$ .

Derivata di una funzione cubica con la definizione

Si calcola la derivata di $f(x) = x^3$ in $x_0 = 2$ . Poiché $(2 + h)^3 = 8 + 12h + 6h^2 + h^3$ , il rapporto incrementale è

\frac{(2 + h)^3 - 8}{h} = \frac{12h + 6h^2 + h^3}{h} = 12 + 6h + h^2 .

Per $h \to 0$ gli ultimi due termini tendono a $0$ , quindi $f'(2) = 12$ . Prima della semplificazione per $h$ il limite si presenta nella forma indeterminata $\dfrac{0}{0}$ , come accade sempre nel calcolo di una derivata con la definizione.

3. Derivata destra e derivata sinistra

Se si calcola il limite del rapporto incrementale solo per $h \to 0^+$ , oppure solo per $h \to 0^-$ , si ottengono la derivata destra e la derivata sinistra di $f$ in $x_0$ :

f'_+(x_0) = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} , \qquad f'_-(x_0) = \lim_{h \to 0^-} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} .

Un limite esiste se e solo se il limite destro e il limite sinistro esistono e sono uguali, come si è visto nell’argomento sui limiti. Perciò $f$ è derivabile in $x_0$ se e solo se le due derivate esistono, sono finite e sono uguali. Per $f(x) = |x|$ e $x_0 = 0$ il rapporto incrementale è $\dfrac{|h|}{h}$ , che vale $1$ per $h > 0$ e $-1$ per $h < 0$ . Quindi $f'_+(0) = 1$ e $f'_-(0) = -1$ , e la funzione $|x|$ non è derivabile in $0$ .

Le derivate destra e sinistra servono anche negli estremi di un intervallo chiuso. Si dice che $f$ è derivabile in $[a, b]$ se è derivabile in ogni punto di $(a, b)$ e se esistono finite $f'_+(a)$ e $f'_-(b)$ .

4. Funzione derivata

Se $f$ è derivabile in ogni punto di un intervallo, si dice derivabile nell’intervallo. In questo caso a ogni $x$ si associa il numero $f'(x)$ , e si ottiene una nuova funzione, la funzione derivata $f'$ . Per $f(x) = x^2$ e $x$ qualsiasi il rapporto incrementale è

\frac{(x + h)^2 - x^2}{h} = \frac{2xh + h^2}{h} = 2x + h ,

che tende a $2x$ per $h \to 0$ . Quindi $f'(x) = 2x$ . Da questa formula si leggono tutte le derivate di $x^2$ senza rifare il limite. Per esempio $f'(1) = 2$ , $f'(-3) = -6$ e $f'(0) = 0$ .

Significato geometrico e retta tangente

Retta tangente

Quando $h$ tende a $0$ il punto $Q$ si muove sul grafico verso $P$ , e la secante $PQ$ ruota attorno a $P$ . Se $f$ è derivabile in $x_0$ , il coefficiente angolare della secante tende a $f'(x_0)$ . La retta tangente al grafico di $f$ nel punto $P\big( x_0, f(x_0) \big)$ è la retta che passa per $P$ e ha coefficiente angolare $f'(x_0)$ :

y - f(x_0) = f'(x_0)\,(x - x_0) .

Perciò $f'(x_0)$ è il coefficiente angolare della retta tangente nel punto di ascissa $x_0$ ; questo è il significato geometrico della derivata. Per $f(x) = x^2$ e $x_0 = 1$ si ha $f(1) = 1$ e $f'(1) = 2$ , quindi la tangente è

y - 1 = 2\,(x - 1) , \qquad \text{cioè} \qquad y = 2x - 1 .

Se $f'(x_0) = 0$ la tangente è orizzontale. Per $x^2$ questo accade in $x_0 = 0$ , dove la tangente è l’asse $x$ .

y = x^2

y = 2x - 1

La tangente al grafico di

x^{2}

nel punto

P (1, 1)

ha coefficiente angolare

f^{'} (1) = 2

; le secanti per

P

tendono a questa retta quando

h

tende a

0

Angolo della tangente e retta normale

Il coefficiente angolare di una retta è la tangente goniometrica dell’angolo $\alpha$ che la retta forma con il verso positivo dell’asse $x$ . Perciò $f'(x_0) = \tan \alpha$ , dove $\alpha$ è l’angolo formato dalla retta tangente. Per $f(x) = x^2$ si ha $f'\left( \dfrac{1}{2} \right) = 1$ , quindi nel punto di ascissa $\dfrac{1}{2}$ la tangente forma un angolo di $\dfrac{\pi}{4}$ con l’asse $x$ .

La retta normale al grafico in $P$ è la perpendicolare alla tangente in $P$ . Due rette sono perpendicolari quando il prodotto dei coefficienti angolari è $-1$ , quindi, se $f'(x_0) \neq 0$ , la normale ha coefficiente angolare $-\dfrac{1}{f'(x_0)}$ . Per $x^2$ nel punto $(1, 1)$ la normale è $y - 1 = -\dfrac{1}{2}\,(x - 1)$ , cioè $y = -\dfrac{x}{2} + \dfrac{3}{2}$ .

La teoria continua con 7 altri paragrafi (continuità e derivabilità, derivate fondamentali, regole di derivazione…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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