Esercizi svolti · Scheda 2

Limiti di funzioni razionali in un punto

Teoria usata: Limiti delle funzioni elementari Operazioni con i limiti infiniti Limite destro e limite sinistro Forme indeterminate Limiti della somma, del prodotto e del quoziente

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Esercizio 1

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x}{x + 1}$ .

\lim_{x \to 1} \frac{x^2 + 3x}{x + 1} = \frac{1 + 3}{1 + 1} = \frac{4}{2} = 2

La funzione è razionale e il suo dominio è $\mathbb{R} \setminus \{-1\}$ . Il punto $1$ appartiene al dominio, quindi, per il teorema sui limiti delle funzioni elementari, il limite si calcola sostituendo $x = 1$ . Il numeratore vale $4$ e il denominatore vale $2$ , che è diverso da $0$ , perciò il limite vale $2$ . La sostituzione diretta non dà una forma indeterminata, quindi non servono altri passaggi.

Esercizio 2

Calcola il limite destro e il limite sinistro di $f(x) = \dfrac{x + 1}{x - 2}$ per $x \to 2$ .

\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3}{0^+} = +\infty, \qquad \lim_{x \to 2^-} \frac{x + 1}{x - 2} = \frac{3}{0^-} = -\infty

y = \dfrac{x + 1}{x - 2}

Per

x \to 2^{+}

la funzione

y = \frac{x + 1}{x - 2}

tende a

+ \infty

, per

x \to 2^{-}

tende a

- \infty

Sostituendo $x = 2$ il numeratore vale $3$ e il denominatore vale $0$ , quindi il limite è infinito e il suo segno dipende dal segno del denominatore vicino a $2$ . Per $x > 2$ si ha $x - 2 > 0$ , cioè il denominatore tende a $0^+$ , e il quoziente di $3$ per un numero positivo piccolo è positivo e grande; perciò il limite destro è $+\infty$ . Per $x < 2$ il denominatore è negativo, e il limite sinistro è $-\infty$ .

I due limiti sono diversi, quindi il limite per $x \to 2$ non esiste. Come mostra la figura, la retta $x = 2$ è un asintoto verticale del grafico.

Esercizio 3

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to -1} \frac{x^2 - 1}{x^2 + 3x + 2}$ .

\frac{x^2 - 1}{x^2 + 3x + 2} \;\to\; \frac{1 - 1}{1 - 3 + 2} = \frac{0}{0}

\frac{x^2 - 1}{x^2 + 3x + 2} = \frac{(x - 1)(x + 1)}{(x + 1)(x + 2)} = \frac{x - 1}{x + 2} \qquad (x \neq -1)

\lim_{x \to -1} \frac{x - 1}{x + 2} = \frac{-2}{1} = -2

Sostituendo $x = -1$ si annullano sia il numeratore sia il denominatore, quindi il limite si presenta nella forma indeterminata $\dfrac{0}{0}$ . Poiché entrambi i polinomi si annullano in $-1$ , per il teorema di Ruffini entrambi sono divisibili per $x + 1$ . Il numeratore è una differenza di quadrati, e il denominatore è il trinomio con radici $-1$ e $-2$ , cioè $(x + 1)(x + 2)$ .

Nel calcolo del limite il punto $x = -1$ è escluso, perciò il fattore $x + 1$ si semplifica. La funzione $\dfrac{x - 1}{x + 2}$ è definita in $-1$ , e per sostituzione il limite vale $-2$ .

Esercizio 4

Calcola $\displaystyle\lim_{x \to 1} \frac{x^3 - 3x + 2}{x^2 - 1}$ .

x^3 - 3x + 2 \;\to\; 1 - 3 + 2 = 0, \qquad x^2 - 1 \;\to\; 0

	$1$	$0$	$-3$	$2$
$1$		$1$	$1$	$-2$
	$1$	$1$	$-2$	$0$

x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2) = (x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2 (x + 2)

\lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)^2 (x + 2)}{(x - 1)(x + 1)} = \lim_{x \to 1} \frac{(x - 1)(x + 2)}{x + 1} = \frac{0 \cdot 3}{2} = 0

Anche qui sostituendo $x = 1$ si ottiene la forma $\dfrac{0}{0}$ . Il denominatore si scompone come differenza di quadrati. Per il numeratore, che è di terzo grado e si annulla in $1$ , si usa la regola di Ruffini con la radice $1$ . I coefficienti sono $1$ , $0$ , $-3$ , $2$ , dove lo $0$ corrisponde al termine in $x^2$ che manca. Il quoziente è $x^2 + x - 2$ e il resto è $0$ . Il trinomio $x^2 + x - 2$ ha radici $1$ e $-2$ , quindi il numeratore è $(x - 1)^2 (x + 2)$ .

Dopo la semplificazione di un fattore $x - 1$ , al numeratore resta ancora un fattore $x - 1$ , che tende a $0$ , mentre il denominatore tende a $2$ . Perciò il limite vale $0$ . Il numeratore contiene il fattore $x - 1$ due volte e il denominatore una volta sola, e per questo motivo il quoziente tende a $0$ .