Teoria

Integrali indefiniti

Che cosa sono le primitive di una funzione e l'integrale indefinito, come si calcolano gli integrali immediati e quelli di funzioni composte, come si usano l'integrazione per sostituzione e per parti e come si integrano le funzioni razionali fratte con denominatore di primo e di secondo grado.

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Primitive e integrale indefinito
Proprietà di linearità

Primitive e integrale indefinito

1. Primitiva

Nell’argomento sulle derivate a ogni funzione si associa la sua derivata. Qui si risolve il problema inverso, cioè si cerca una funzione di cui si conosce la derivata. Sia $f$ una funzione definita in un intervallo $I$ . Una funzione $F$ derivabile in $I$ si chiama primitiva di $f$ in $I$ se

F'(x) = f(x) \qquad \text{per ogni } x \text{ di } I .

Per esempio $F(x) = x^2$ è una primitiva di $f(x) = 2x$ in $\mathbb{R}$ , perché $\left( x^2 \right)' = 2x$ . Anche $x^2 + 5$ e $x^2 - 7$ sono primitive di $2x$ , perché la derivata di una costante è $0$ . Una funzione che ha una primitiva ne ha quindi infinite.

2. Primitive di una stessa funzione

Sia $F$ una primitiva di $f$ nell’intervallo $I$ . Allora le primitive di $f$ in $I$ sono tutte e sole le funzioni

F(x) + c , \qquad \text{con } c \text{ numero reale} .

Ogni funzione $F(x) + c$ è una primitiva, perché la sua derivata è $F'(x) = f(x)$ . Viceversa, se $G$ è un’altra primitiva, la differenza $G - F$ ha derivata $f - f = 0$ in tutto l’intervallo; per il teorema sulle funzioni con derivata nulla, che si studia nell’argomento sui teoremi del calcolo differenziale, la differenza è quindi una costante $c$ , e $G = F + c$ .

I grafici delle primitive si ottengono perciò l’uno dall’altro con una traslazione verticale. Per esempio le primitive di $f(x) = x^2 - 1$ sono le funzioni $\dfrac{x^3}{3} - x + c$ . In ogni ascissa i loro grafici hanno la stessa pendenza, uguale a $f(x)$ .

y = \dfrac{x^3}{3} - x

y = \dfrac{x^3}{3} - x + 2

Due primitive di

f (x) = x^{2} - 1

; i loro grafici distano

2

in verticale in ogni ascissa, e in ogni ascissa hanno la stessa pendenza

f (x)

3. Integrale indefinito

L’integrale indefinito di $f$ è l’insieme di tutte le primitive di $f$ , e si scrive

\int f(x)\,dx = F(x) + c ,

dove $F$ è una primitiva qualsiasi di $f$ e $c$ è una costante arbitraria, detta costante di integrazione. La funzione $f$ si chiama funzione integranda, e il simbolo $dx$ indica che la variabile è $x$ . Per esempio

\int 3x^2\,dx = x^3 + c , \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + c .

Ogni integrale indefinito si controlla derivando il risultato, perché la derivata di $F(x) + c$ deve essere la funzione integranda. Per il primo esempio $\left( x^3 + c \right)' = 3x^2$ .

4. Esistenza delle primitive

Ogni funzione continua in un intervallo ha una primitiva in quell’intervallo.

Le funzioni che si incontrano negli esercizi, cioè polinomi, funzioni razionali, radici, esponenziali, logaritmi e funzioni goniometriche, sono continue negli intervalli in cui sono definite, quindi in quegli intervalli hanno primitive. Per esempio $f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}$ è continua su tutto $\mathbb{R}$ , quindi ha primitive su $\mathbb{R}$ ; una di esse è $\arctan x$ , come risulta dalla tabella degli integrali immediati. Il teorema si dimostra con il teorema fondamentale del calcolo integrale, nell’argomento sugli integrali definiti.

Dal grafico di una funzione al grafico di una sua primitiva

Poiché $F'(x) = f(x)$ , il segno di $f$ è il segno della derivata di $F$ . Per il criterio di monotonia, una primitiva $F$ è quindi crescente negli intervalli in cui $f > 0$ e decrescente negli intervalli in cui $f < 0$ ; nei punti in cui $f$ cambia segno il grafico di $F$ ha un massimo o un minimo relativo, con tangente orizzontale.

Per esempio $F(x) = (x - 1)\,e^{x}$ è una primitiva di $f(x) = x\,e^{x}$ , perché per la regola del prodotto $F'(x) = e^{x} + (x - 1)\,e^{x} = x\,e^{x}$ . La funzione $f$ è negativa per $x < 0$ e positiva per $x > 0$ , perciò $F$ decresce per $x < 0$ , cresce per $x > 0$ e ha un minimo in $x = 0$ , dove vale $F(0) = -1$ .

y = x\,e^{x}

y = (x - 1)\,e^{x}

La primitiva

F (x) = (x - 1) e^{x}

f (x) = x e^{x}

ha un minimo in

x = 0

, dove

f

passa da valori negativi a valori positivi

Primitiva che passa per un punto

Tra le infinite primitive di $f$ ce n’è una sola il cui grafico passa per un punto assegnato $P(x_0, y_0)$ , con $x_0$ nell’intervallo. Infatti la condizione $F(x_0) + c = y_0$ determina il valore di $c$ . Per esempio le primitive di $f(x) = 6x - 2$ sono $3x^2 - 2x + c$ . La primitiva che passa per $P(1, 4)$ soddisfa $3 - 2 + c = 4$ , quindi $c = 3$ , e la primitiva cercata è

F(x) = 3x^2 - 2x + 3 .

y = 3x^2 - 2x

y = 3x^2 - 2x + 3

Tra le primitive di

f (x) = 6 x - 2

, la funzione

F (x) = 3 x^{2} - 2 x + 3

è quella il cui grafico passa per

P (1, 4)

Velocità e posizione dall'accelerazione

In fisica la velocità è la derivata della posizione e l’accelerazione è la derivata della velocità, come si è visto nell’argomento sulle derivate. Perciò la velocità $v(t)$ è una primitiva dell’accelerazione $a(t)$ , e la legge oraria $s(t)$ è una primitiva della velocità. Le costanti di integrazione si determinano con la velocità e la posizione all’istante iniziale.

Per esempio un corpo si muove lungo una retta con accelerazione $a(t) = 6t - 2$ , in $\mathrm{m/s^2}$ , e all’istante $t = 0$ si trova in $s = 0$ con velocità $1\,\mathrm{m/s}$ . Allora

v(t) = \int (6t - 2)\,dt = 3t^2 - 2t + c_1 , \qquad v(0) = 1 \;\Longrightarrow\; c_1 = 1 ,

s(t) = \int \left( 3t^2 - 2t + 1 \right) dt = t^3 - t^2 + t + c_2 , \qquad s(0) = 0 \;\Longrightarrow\; c_2 = 0 .

All’istante $t = 2\,\mathrm{s}$ il corpo si trova quindi in $s(2) = 8 - 4 + 2 = 6\,\mathrm{m}$ . Questo è il primo esempio di equazione differenziale, cioè di equazione in cui l’incognita è una funzione; le equazioni differenziali si studiano nell’argomento dedicato.

s = t^3 - t^2 + t

La legge oraria

s (t) = t^{3} - t^{2} + t

è la primitiva di

v (t) = 3 t^{2} - 2 t + 1

che vale

0

per

t = 0

; all'istante

t = 2

il corpo si trova in

s = 6

Proprietà di linearità

Linearità dell'integrale indefinito

Siano $f$ e $g$ funzioni che hanno primitive in un intervallo e sia $k$ un numero reale. Allora

\int k\,f(x)\,dx = k \int f(x)\,dx , \qquad \int \big( f(x) + g(x) \big)\,dx = \int f(x)\,dx + \int g(x)\,dx .

In parole, una costante moltiplicativa si porta fuori dal segno di integrale, e l’integrale di una somma è la somma degli integrali. Le due formule seguono dalle regole di derivazione del prodotto per una costante e della somma. Con la linearità un polinomio si integra termine per termine:

\int \left( 4x^3 - 6x + 2 \right) dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} - 6 \cdot \frac{x^2}{2} + 2x + c = x^4 - 3x^2 + 2x + c .

Le costanti di integrazione dei singoli termini si sommano in un’unica costante $c$ .

Attenzione

L’integrale di un prodotto è diverso dal prodotto degli integrali. Per $f(x) = g(x) = x$ il prodotto è $x^2$ , il cui integrale è $\dfrac{x^3}{3} + c$ , mentre il prodotto delle primitive $\dfrac{x^2}{2} \cdot \dfrac{x^2}{2} = \dfrac{x^4}{4}$ ha derivata $x^3$ , che è diversa da $x^2$ . Per i prodotti si usano l’integrazione per sostituzione e l’integrazione per parti.

La teoria continua con 6 altri paragrafi (integrali immediati, integrali di funzioni composte, integrazione per sostituzione…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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