Teoria

Massimi, minimi, flessi e studio di funzione

Come si trovano i massimi e i minimi di una funzione con la derivata prima, come si studiano concavità e flessi con la derivata seconda, come si traccia il grafico con lo schema completo dello studio di funzione e come si usano le derivate nei problemi di massimo e di minimo, nella discussione grafica di equazioni con un parametro e nella risoluzione approssimata di equazioni.

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Massimi e minimi
Ricerca degli estremi con la derivata prima

Massimi e minimi

1. Massimo e minimo assoluti

Sia $f$ una funzione di dominio $D$ e sia $x_0$ un punto di $D$ . Il numero $f(x_0)$ è il massimo assoluto di $f$ se

f(x) \leq f(x_0) \qquad \text{per ogni } x \in D ,

e allora $x_0$ si chiama punto di massimo assoluto. Con la disuguaglianza $f(x) \geq f(x_0)$ si definiscono il minimo assoluto e il punto di minimo assoluto. Il massimo, se esiste, è un solo numero, mentre i punti in cui la funzione lo assume possono essere più di uno. Per esempio $f(x) = \sin x$ ha massimo assoluto $1$ , assunto in tutti i punti $x = \dfrac{\pi}{2} + 2k\pi$ , e minimo assoluto $-1$ . La funzione $f(x) = x^2$ ha minimo assoluto $0$ , assunto in $x = 0$ , e non ha massimo, perché assume valori grandi quanto si vuole.

2. Massimo e minimo relativi

Un massimo relativo confronta il valore in $x_0$ solo con i valori nei punti vicini a $x_0$ . Il punto $x_0$ di $D$ è un punto di massimo relativo di $f$ se esiste un intorno $I(x_0)$ tale che

f(x) \leq f(x_0) \qquad \text{per ogni } x \in I(x_0) \cap D .

Allo stesso modo, con la disuguaglianza $f(x) \geq f(x_0)$ , si definisce il punto di minimo relativo. I massimi e i minimi si chiamano insieme estremi. Ogni massimo assoluto è anche relativo, mentre un massimo relativo può non essere assoluto. La funzione $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ ha un massimo relativo in $x = 1$ , con $f(1) = 4$ , perché vicino a $1$ assume valori minori di $4$ . Questo massimo non è assoluto, perché per esempio $f(5) = 20$ .

y = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

La funzione

f (x) = x^{3} - 6 x^{2} + 9 x

ha un massimo relativo in

(1, 4)

e un minimo relativo in

(3, 0)

; nessuno dei due è assoluto, perché per esempio

f (5) = 20 > 4

Punti stazionari e punti in cui cercare gli estremi

Un punto $x_0$ in cui $f'(x_0) = 0$ si chiama punto stazionario, perché in quel punto la tangente al grafico è orizzontale. Per il teorema di Fermat, in un punto interno in cui $f$ è derivabile un estremo è possibile solo se la derivata si annulla. Gli estremi di una funzione definita in un intervallo si cercano quindi tra

i punti stazionari interni all’intervallo;
i punti interni in cui $f$ non è derivabile;
gli estremi dell’intervallo che appartengono al dominio.

I tre casi si presentano tutti. Per $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ si ha $f'(x) = 3x^2 - 12x + 9 = 3\,(x - 1)(x - 3)$ , quindi i punti stazionari sono $x = 1$ e $x = 3$ . La funzione $|x|$ ha minimo in $0$ , dove non è derivabile. La funzione $f(x) = x$ sull’intervallo $[0, 2]$ ha massimo nell’estremo $x = 2$ , dove la derivata vale $1$ . I punti dell’elenco sono soltanto candidati, e i criteri che seguono permettono di decidere se sono estremi.

Ricerca degli estremi con la derivata prima

Criterio della derivata prima

Sia $f$ continua in un intervallo $(a, b)$ che contiene $x_0$ e derivabile in $(a, b)$ , escluso al più il punto $x_0$ .

Se $f'(x) > 0$ in $(a, x_0)$ e $f'(x) < 0$ in $(x_0, b)$ , allora $x_0$ è un punto di massimo relativo.
Se $f'(x) < 0$ in $(a, x_0)$ e $f'(x) > 0$ in $(x_0, b)$ , allora $x_0$ è un punto di minimo relativo.
Se $f'$ ha lo stesso segno in $(a, x_0)$ e in $(x_0, b)$ , allora $x_0$ non è un estremo.

Nel primo caso, per il criterio di monotonia, $f$ è crescente in $(a, x_0]$ e decrescente in $[x_0, b)$ , quindi $f(x) < f(x_0)$ per ogni $x \neq x_0$ dell’intervallo; gli altri casi sono analoghi. Il criterio si usa con la tabella dei segni della derivata. Per $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ si ha $f'(x) = 3\,(x - 1)(x - 3)$ , e

	$x < 1$	$1 < x < 3$	$x > 3$
$f'(x)$	$+$	$-$	$+$
$f$	crescente	decrescente	crescente

Quindi $x = 1$ è un punto di massimo relativo, con $f(1) = 4$ , e $x = 3$ è un punto di minimo relativo, con $f(3) = 0$ .

Un minimo in un punto di non derivabilità

La funzione $f(x) = \sqrt[3]{x^2}$ è continua su $\mathbb{R}$ e per $x \neq 0$ ha derivata

f'(x) = \frac{2}{3\sqrt[3]{x}} .

La derivata è negativa per $x < 0$ e positiva per $x > 0$ . Per il criterio della derivata prima $x = 0$ è quindi un punto di minimo relativo, con $f(0) = 0$ , anche se in $0$ la funzione non è derivabile. Nell’argomento sulle derivate si è visto che l’origine è una cuspide del grafico.

Attenzione

Un punto stazionario può non essere un estremo. La funzione $f(x) = x^3$ ha $f'(0) = 0$ , ma $f'(x) = 3x^2$ è positiva sia a sinistra sia a destra di $0$ . Per il criterio della derivata prima il punto $x = 0$ non è un estremo, e infatti $x^3$ è crescente su tutto $\mathbb{R}$ .

La teoria continua con 8 altri paragrafi (massimi e minimi assoluti, concavità e flessi, schema dello studio di funzione…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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