Teoria

Probabilità e distribuzioni

Come si contano i casi con il calcolo combinatorio, come si calcola la probabilità di un evento con i teoremi della somma e del prodotto, la probabilità condizionata e il teorema di Bayes, che cosa sono le variabili aleatorie discrete e continue con valore medio e varianza, e come si usano le distribuzioni binomiale, di Poisson, uniforme, esponenziale e normale.

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Richiami di calcolo combinatorio
Eventi e probabilità classica

Richiami di calcolo combinatorio

1. Disposizioni e permutazioni

Siano dati $n$ oggetti distinti e un numero naturale $k \leq n$ . Una disposizione semplice di classe $k$ è una sequenza ordinata di $k$ oggetti scelti fra gli $n$ , senza ripetizioni. Due disposizioni sono diverse se contengono oggetti diversi oppure gli stessi oggetti in un ordine diverso. Il primo oggetto si sceglie in $n$ modi, il secondo fra gli $n - 1$ rimasti, e così via fino al $k$ -esimo, quindi il numero delle disposizioni semplici è

D_{n,k} = n\,(n - 1)\,(n - 2) \cdots (n - k + 1) .

Se gli oggetti si possono ripetere, ogni posto si riempie in $n$ modi e si ottengono le disposizioni con ripetizione, in numero $D'_{n,k} = n^k$ . Le permutazioni di $n$ oggetti sono le disposizioni semplici di classe $n$ , cioè i modi di mettere in fila tutti gli oggetti. Il loro numero è $P_n = n!$ , dove $n! = n\,(n - 1) \cdots 2 \cdot 1$ si legge ” $n$ fattoriale”; si pone inoltre $0! = 1$ .

Per esempio, in una gara con $8$ atleti i podi possibili sono $D_{8,3} = 8 \cdot 7 \cdot 6 = 336$ , i codici di $3$ cifre, che possono ripetersi, sono $D'_{10,3} = 10^3 = 1000$ , e i modi di mettere in fila $5$ persone sono $P_5 = 5! = 120$ .

2. Combinazioni e coefficiente binomiale

Una combinazione semplice di $n$ oggetti distinti di classe $k$ è un gruppo di $k$ oggetti scelti fra gli $n$ , senza ripetizioni e senza tenere conto dell’ordine. I $k$ oggetti di una combinazione si possono ordinare in $k!$ modi, quindi ogni combinazione corrisponde a $k!$ disposizioni. Perciò il numero delle combinazioni è

C_{n,k} = \frac{D_{n,k}}{k!} = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!\,(n - k)!} .

Il numero $\dbinom{n}{k}$ si chiama coefficiente binomiale e si legge ” $n$ su $k$ ”. Valgono $\dbinom{n}{0} = \dbinom{n}{n} = 1$ e $\dbinom{n}{k} = \dbinom{n}{n - k}$ . Per esempio, i modi di scegliere $3$ studenti su $10$ per un’interrogazione sono

\binom{10}{3} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3!} = \frac{720}{6} = 120 .

I coefficienti binomiali sono anche i coefficienti dello sviluppo della potenza di un binomio, e compaiono nella distribuzione binomiale.

Tre modi di contare le coppie di lettere

Con le lettere $A$ , $B$ , $C$ , $D$ si formano coppie di lettere.

Se l’ordine conta e le lettere sono diverse, $AB$ e $BA$ sono coppie diverse, e le coppie sono $D_{4,2} = 4 \cdot 3 = 12$ .
Se l’ordine conta e le lettere possono ripetersi, si aggiungono $AA$ , $BB$ , $CC$ , $DD$ , e le coppie sono $D'_{4,2} = 4^2 = 16$ .
Se l’ordine non conta, $AB$ e $BA$ sono lo stesso gruppo, e i gruppi sono $\dbinom{4}{2} = \dfrac{12}{2} = 6$ .

Eventi e probabilità classica

1. Spazio campionario ed eventi

Un esperimento aleatorio è un esperimento di cui non si può prevedere il risultato, come il lancio di un dado o l’estrazione di una carta. L’insieme di tutti i risultati possibili si chiama spazio campionario e si indica con $\Omega$ . Un evento è un sottoinsieme di $\Omega$ , e si dice che l’evento si verifica se il risultato dell’esperimento gli appartiene. Lo spazio $\Omega$ è l’evento certo, l’insieme vuoto è l’evento impossibile.

Con gli eventi si opera come con gli insiemi.

L’unione $A \cup B$ si verifica quando si verifica almeno uno dei due eventi.
L’intersezione $A \cap B$ si verifica quando si verificano entrambi gli eventi.
L’evento contrario $\overline{E}$ è il complementare di $E$ in $\Omega$ , e si verifica quando $E$ non si verifica.

Due eventi si dicono incompatibili se $A \cap B = \emptyset$ , cioè se non possono verificarsi insieme. Nel lancio di un dado si ha $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$ . Gli eventi “esce un numero pari” e “esce un numero maggiore di $3$ ” sono $A = \{2, 4, 6\}$ e $B = \{4, 5, 6\}$ , quindi $A \cup B = \{2, 4, 5, 6\}$ , $A \cap B = \{4, 6\}$ e $\overline{A} = \{1, 3, 5\}$ .

2. Probabilità classica

Sia $\Omega$ un insieme finito di risultati equiprobabili, cioè con la stessa possibilità di verificarsi. La probabilità di un evento $E$ è il rapporto tra il numero dei casi favorevoli, cioè degli elementi di $E$ , e il numero dei casi possibili, cioè degli elementi di $\Omega$ :

P(E) = \frac{\text{numero dei casi favorevoli}}{\text{numero dei casi possibili}} .

I casi favorevoli sono al massimo quanti i casi possibili, quindi $0 \leq P(E) \leq 1$ ; inoltre $P(\Omega) = 1$ e $P(\emptyset) = 0$ . Nel lancio di un dado la probabilità che esca un numero pari è $\dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2}$ . Nel lancio di due dadi i casi possibili sono le coppie ordinate di risultati, cioè $D'_{6,2} = 36$ ; la somma vale $7$ nei $6$ casi $(1, 6)$ , $(2, 5)$ , $(3, 4)$ , $(4, 3)$ , $(5, 2)$ , $(6, 1)$ , perciò la sua probabilità è $\dfrac{6}{36} = \dfrac{1}{6}$ .

Probabilità statistica e soggettiva

Quando i casi non sono equiprobabili si usano altre definizioni. Nella definizione statistica la probabilità di un evento è la frequenza relativa $\dfrac{m}{n}$ con cui l’evento si è verificato in un numero $n$ grande di prove ripetute nelle stesse condizioni; per esempio, se su $1000$ pezzi controllati $23$ sono difettosi, la probabilità che un pezzo sia difettoso si valuta $0{,}023$ . Nella definizione soggettiva la probabilità è la somma che una persona coerente è disposta a pagare per ricevere $1$ se l’evento si verifica. I teoremi che seguono valgono per tutte queste definizioni.

3. Probabilità dell'evento contrario

Per ogni evento $E$ vale

P\big( \overline{E} \big) = 1 - P(E) .

Nella probabilità classica i casi favorevoli a $\overline{E}$ sono i casi possibili meno quelli favorevoli a $E$ , e da qui segue la formula. Il teorema serve per gli eventi del tipo “almeno uno”, il cui contrario è più semplice. Per esempio, nel lancio di tre monete il contrario di “esce almeno una testa” è “escono tre croci”, che ha probabilità $\dfrac{1}{8}$ , perché i casi possibili sono $2^3 = 8$ . Quindi la probabilità di almeno una testa è $1 - \dfrac{1}{8} = \dfrac{7}{8}$ .

Probabilità calcolata con le combinazioni

Un’urna contiene $6$ palline rosse e $4$ bianche, e se ne estraggono $3$ insieme. L’ordine non conta, quindi i casi possibili sono $\dbinom{10}{3} = 120$ . I casi in cui le tre palline sono rosse sono $\dbinom{6}{3} = 20$ , perciò

P(\text{tre rosse}) = \frac{20}{120} = \frac{1}{6} .

Per avere esattamente due rosse si scelgono $2$ rosse fra $6$ e $1$ bianca fra $4$ , in $\dbinom{6}{2} \cdot \dbinom{4}{1} = 15 \cdot 4 = 60$ modi, quindi la probabilità è $\dfrac{60}{120} = \dfrac{1}{2}$ .

La teoria continua con 8 altri paragrafi (teoremi della somma e del prodotto, teorema di bayes, variabili aleatorie discrete…), oltre a tutte le schede svolte, le soluzioni e il PDF.

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