Esercizi svolti · Scheda 8

Problemi su volumi e capacità

Teoria usata: Volume del cubo e del parallelepipedo Volume del cilindro Unità di volume e litri Unità di misura delle lunghezze

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Esercizio 1

Una scatola a forma di parallelepipedo misura $20$ cm, $15$ cm e $10$ cm. Calcola il suo volume in centimetri cubi e in litri.

V = 20 \cdot 15 \cdot 10 = 3000\ \text{cm}^3

3000\ \text{cm}^3 = \frac{3000}{1000}\ \text{dm}^3 = 3\ \text{dm}^3 = 3\ \text{litri}

Il volume del parallelepipedo è il prodotto delle tre dimensioni. Poiché $20 \cdot 15 = 300$ e $300 \cdot 10 = 3000$ , il volume è $3000\ \text{cm}^3$ . In parole semplici, sul fondo della scatola stanno $300$ cubetti con spigolo $1$ cm, e gli strati di cubetti sono $10$ .

Un decimetro cubo contiene $1000$ centimetri cubi, quindi per passare dai centimetri cubi ai decimetri cubi si divide per $1000$ . Si ottengono $3\ \text{dm}^3$ , e poiché un litro è un decimetro cubo la scatola contiene $3$ litri.

Esercizio 2

Un contenitore ha la forma di un cubo con spigolo $30$ cm. Calcola quanti litri d’acqua può contenere.

30\ \text{cm} = 3\ \text{dm}

V = 3^3 = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27\ \text{dm}^3 = 27\ \text{litri}

La capacità in litri si ottiene direttamente se lo spigolo si esprime in decimetri, perché un litro è un decimetro cubo. Un decimetro è $10$ cm, quindi $30$ cm sono $3$ dm.

Il volume del cubo è lo spigolo elevato al cubo, cioè $3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$ , quindi il volume è $27\ \text{dm}^3$ e il contenitore contiene $27$ litri. Con lo spigolo in centimetri si ottiene $30 \cdot 30 \cdot 30 = 27\,000\ \text{cm}^3$ , e dividendo per $1000$ si ritrovano $27$ litri.

Esercizio 3

Una piscina a forma di parallelepipedo è lunga $10$ m, larga $5$ m e profonda $1{,}5$ m. Una pompa la riempie versando $25$ litri d’acqua al minuto. Calcola quanti litri servono per riempirla e quante ore impiega la pompa.

V = 10 \cdot 5 \cdot 1{,}5 = 75\ \text{m}^3

75\ \text{m}^3 = 75 \cdot 1000\ \text{litri} = 75\,000\ \text{litri}

\frac{75\,000}{25} = 3000\ \text{minuti}

\frac{3000}{60} = 50\ \text{ore}

Il volume della piscina è il prodotto delle tre dimensioni. Si ha $10 \cdot 5 = 50$ e $50 \cdot 1{,}5 = 75$ , quindi il volume è $75\ \text{m}^3$ . Un metro cubo contiene $1000$ litri, perciò per riempire la piscina servono $75\,000$ litri.

La pompa versa $25$ litri ogni minuto, quindi il numero di minuti è $\dfrac{75\,000}{25} = 3000$ , perché $25 \cdot 3000 = 75\,000$ . Un’ora ha $60$ minuti, e $3000$ minuti sono $\dfrac{3000}{60} = 50$ ore. La pompa impiega quindi $50$ ore.

Esercizio 4

Una lattina ha la forma di un cilindro con raggio di base $5$ cm e altezza $12$ cm. Calcola il suo volume con $\pi$ e con $\pi \approx 3{,}14$ , ed esprimi il risultato approssimato in litri.

V = \pi r^2 h = \pi \cdot 5^2 \cdot 12 = \pi \cdot 25 \cdot 12 = 300\pi\ \text{cm}^3

V \approx 300 \cdot 3{,}14 = 942\ \text{cm}^3

942\ \text{cm}^3 = \frac{942}{1000}\ \text{litri} = 0{,}942\ \text{litri}

Il volume del cilindro è l’area di base per l’altezza. La base è un cerchio con raggio $5$ cm, quindi la sua area è $\pi \cdot 5^2 = 25\pi\ \text{cm}^2$ . Moltiplicando per l’altezza si ottiene $25 \cdot 12 = 300$ , perciò il volume è $300\pi\ \text{cm}^3$ .

Con $\pi \approx 3{,}14$ il volume è $300 \cdot 3{,}14 = 942\ \text{cm}^3$ . Un litro contiene $1000\ \text{cm}^3$ , quindi si divide per $1000$ e la lattina contiene circa $0{,}942$ litri.