Esercizi svolti · Scheda 7

Problemi su recinzioni, pavimenti e aiuole

Teoria usata: Poligono e perimetro Perimetro e area del rettangolo e del quadrato Unità di misura delle lunghezze Area del cerchio Il numero π e la lunghezza della circonferenza Teorema di Pitagora

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Esercizio 1

Un giardino rettangolare misura $25$ m per $18$ m e va recintato su tutto il bordo. La rete costa $3$ euro al metro. Calcola la spesa per la rete.

2p = 2 \cdot (25 + 18) = 2 \cdot 43 = 86\ \text{m}

\text{spesa} = 86 \cdot 3 = 258\ \text{euro}

La rete corre lungo tutto il bordo del giardino, quindi la sua lunghezza è il perimetro del rettangolo. La somma di base e altezza è $25 + 18 = 43$ , e il perimetro è il doppio, cioè $86$ m.

Ogni metro di rete costa $3$ euro, perciò la spesa è $86 \cdot 3$ . Poiché $80 \cdot 3 = 240$ e $6 \cdot 3 = 18$ , la spesa è $240 + 18 = 258$ euro.

Esercizio 2

Il pavimento di una stanza rettangolare misura $5$ m per $4$ m. Si vuole coprirlo con piastrelle quadrate con lato $25$ cm. Calcola quante piastrelle servono.

5\ \text{m} = 500\ \text{cm}, \qquad 4\ \text{m} = 400\ \text{cm}

\frac{500}{25} = 20 \ \text{piastrelle lungo un lato}

\frac{400}{25} = 16 \ \text{piastrelle lungo l'altro lato}

20 \cdot 16 = 320 \ \text{piastrelle}

Ogni quadrato tratteggiato ha lato

1

m e contiene

4 \cdot 4 = 16

piastrelle con lato

25

cm; i quadrati sono

5 \cdot 4 = 20

, quindi le piastrelle sono

20 \cdot 16 = 320

Le misure della stanza e della piastrella sono in unità diverse, quindi si trasformano le misure della stanza in centimetri. Dal metro al centimetro si moltiplica per $100$ , perciò la stanza misura $500$ cm per $400$ cm.

Lungo il lato di $500$ cm stanno $\dfrac{500}{25} = 20$ piastrelle, perché $25 \cdot 20 = 500$ . Lungo il lato di $400$ cm stanno $\dfrac{400}{25} = 16$ piastrelle, perché $25 \cdot 16 = 400$ . Le piastrelle formano quindi $16$ file da $20$ , e in tutto sono $20 \cdot 16 = 320$ .

Lo stesso risultato si ottiene con le aree. La stanza ha area $500 \cdot 400 = 200\,000\ \text{cm}^2$ , e una piastrella ha area $25 \cdot 25 = 625\ \text{cm}^2$ . Il quoziente $\dfrac{200\,000}{625}$ vale $320$ , perché $625 \cdot 320 = 200\,000$ .

Esercizio 3

Un’aiuola ha la forma di un cerchio con raggio $3$ m. Calcola, con $\pi \approx 3{,}14$ , la lunghezza del bordo e l’area dell’aiuola. Un sacco di terriccio basta per $10\ \text{m}^2$ . Calcola quanti sacchi servono per coprire tutta l’aiuola.

C = 2\pi r \approx 2 \cdot 3{,}14 \cdot 3 = 18{,}84\ \text{m}

A = \pi r^2 \approx 3{,}14 \cdot 9 = 28{,}26\ \text{m}^2

\frac{28{,}26}{10} = 2{,}826

\text{sacchi necessari} = 3

Il bordo dell’aiuola è una circonferenza, e la sua lunghezza è $2\pi r$ . Il prodotto $2 \cdot 3$ vale $6$ . Poiché $6 \cdot 3 = 18$ e $6 \cdot 0{,}14 = 0{,}84$ , si ha $6 \cdot 3{,}14 = 18{,}84$ , quindi il bordo misura circa $18{,}84$ m.

L’area del cerchio è $\pi r^2$ , e il quadrato del raggio è $3 \cdot 3 = 9$ . Poiché $9 \cdot 3 = 27$ e $9 \cdot 0{,}14 = 1{,}26$ , si ha $9 \cdot 3{,}14 = 28{,}26$ , e quindi l’aiuola ha area di circa $28{,}26\ \text{m}^2$ .

Un sacco copre $10\ \text{m}^2$ , quindi il numero di sacchi si ottiene dividendo l’area per $10$ , cioè $2{,}826$ . Due sacchi coprono soltanto $20\ \text{m}^2$ , che è meno dell’area dell’aiuola, perciò servono $3$ sacchi.

Esercizio 4

Una scala lunga $5$ m è appoggiata a un muro verticale, e il suo piede si trova sul pavimento orizzontale a $1{,}4$ m dal muro. Calcola a quale altezza la scala tocca il muro.

\begin{aligned} h &= \sqrt{5^2 - 1{,}4^2} \\[6pt] &= \sqrt{25 - 1{,}96} \\[6pt] &= \sqrt{23{,}04} \\[6pt] &= 4{,}8\ \text{m} \end{aligned}

La scala, il muro e il pavimento formano un triangolo rettangolo con ipotenusa di

5

m e un cateto di

1, 4

Il muro è verticale e il pavimento è orizzontale, quindi muro e pavimento formano un angolo retto. La scala, il tratto di muro sotto la scala e il tratto di pavimento tra il muro e il piede della scala formano perciò un triangolo rettangolo. La scala è l’ipotenusa, lunga $5$ m, la distanza dal muro è un cateto di $1{,}4$ m, e l’altezza cercata è l’altro cateto.

Per il teorema di Pitagora il quadrato dell’altezza è $5^2 - 1{,}4^2$ . Si ha $5^2 = 25$ e $1{,}4^2 = 1{,}96$ , perché $14 \cdot 14 = 196$ . La differenza è $25 - 1{,}96 = 23{,}04$ . Poiché $48 \cdot 48 = 2304$ , si ha $4{,}8 \cdot 4{,}8 = 23{,}04$ , e quindi la scala tocca il muro a $4{,}8$ m di altezza.