Confronti e ordinamenti di frazioni

Le due frazioni hanno denominatori diversi, quindi si riducono al minimo comune denominatore. Poiché $8=2^3$ e $12=2^2\cdot 3$, il minimo comune multiplo è $2^3\cdot 3=24$.

Si ha $24:8=3$, perciò numeratore e denominatore di $\frac{5}{8}$ si moltiplicano per $3$, e si ottiene $\frac{15}{24}$. Allo stesso modo $24:12=2$, quindi $\frac{7}{12}$ diventa $\frac{14}{24}$.

Ora le parti hanno la stessa grandezza, e $15$ parti sono più di $14$. Di conseguenza $\frac{5}{8}$ è maggiore di $\frac{7}{12}$.

Il numero $30$ è multiplo di $3$, di $5$, di $10$ e di $15$, e nessun numero più piccolo è multiplo di tutti e quattro, perché i multipli di $15$ minori di $30$ sono soltanto $15$, che non è multiplo di $10$. Quindi il minimo comune denominatore è $30$.

Ogni frazione si trasforma moltiplicando numeratore e denominatore per il quoziente fra $30$ e il suo denominatore. Si moltiplica per $10$ in $\frac{2}{3}$, per $6$ in $\frac{3}{5}$, per $3$ in $\frac{7}{10}$ e per $2$ in $\frac{4}{15}$.

Le quattro frazioni hanno ora lo stesso denominatore, perciò l’ordine è quello dei numeratori $8<18<20<21$. L’ordine crescente è quindi $\frac{4}{15}<\frac{3}{5}<\frac{2}{3}<\frac{7}{10}$.

I denominatori $13$ e $7$ sono primi tra loro, quindi il denominatore comune è il loro prodotto $13\cdot 7=91$. Con questo denominatore le due frazioni diventano $\frac{11\cdot 7}{91}=\frac{77}{91}$ e $\frac{6\cdot 13}{91}=\frac{78}{91}$.

Per confrontarle bastano quindi i due numeratori, cioè i prodotti in croce $11\cdot 7=77$ e $13\cdot 6=78$. Poiché $77<78$, la frazione $\frac{11}{13}$ è minore di $\frac{6}{7}$. Le due frazioni sono molto vicine, perché la loro differenza è $\frac{78}{91}-\frac{77}{91}=\frac{1}{91}$.