Esercizi svolti · Scheda 2

Frazioni equivalenti e semplificazioni

Teoria usata: Frazioni equivalenti Proprietà invariantiva Semplificazione e frazione ai minimi termini Riduzione ai minimi termini con il MCD

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Esercizio 1

Verifica che le frazioni $\dfrac{6}{10}$ , $\dfrac{12}{20}$ e $\dfrac{21}{35}$ sono equivalenti a $\dfrac{3}{5}$ . Poi trova il numero che manca nell’uguaglianza $\dfrac{4}{9} = \dfrac{\ \square\ }{36}$ .

\frac{3 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{6}{10} , \qquad \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{12}{20} , \qquad \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{21}{35}

36 : 9 = 4 \qquad \Longrightarrow \qquad \frac{4}{9} = \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{16}{36}

Il denominatore $10$ è $5 \cdot 2$ , e il numeratore $6$ è $3 \cdot 2$ . La frazione $\dfrac{6}{10}$ si ottiene quindi da $\dfrac{3}{5}$ moltiplicando numeratore e denominatore per $2$ , e per la proprietà invariantiva le due frazioni sono equivalenti. Allo stesso modo $\dfrac{12}{20}$ si ottiene moltiplicando per $4$ e $\dfrac{21}{35}$ moltiplicando per $7$ .

Nella seconda parte il denominatore passa da $9$ a $36$ . Poiché $36 : 9 = 4$ , il denominatore è stato moltiplicato per $4$ . Per avere una frazione equivalente anche il numeratore va moltiplicato per $4$ , quindi il numero che manca è $16$ .

Esercizio 2

Riduci ai minimi termini la frazione $\dfrac{30}{42}$ .

\begin{aligned} \frac{30}{42} &= \frac{30 : 2}{42 : 2} = \frac{15}{21} \\[6pt] &= \frac{15 : 3}{21 : 3} = \frac{5}{7} \end{aligned}

I numeri $30$ e $42$ sono entrambi pari, quindi si possono dividere per $2$ . Si ottiene $\dfrac{15}{21}$ , che per la proprietà invariantiva ha lo stesso valore.

La somma delle cifre di $15$ è $6$ e quella di $21$ è $3$ , perciò entrambi i numeri sono divisibili per $3$ . Dividendo si ottiene $\dfrac{5}{7}$ . I numeri $5$ e $7$ sono primi e diversi, quindi il loro unico divisore comune è $1$ e la frazione $\dfrac{5}{7}$ è ridotta ai minimi termini.

Esercizio 3

Riduci ai minimi termini la frazione $\dfrac{150}{360}$ con il massimo comune divisore.

150 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2 , \qquad 360 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5

\operatorname{MCD}(150, 360) = 2 \cdot 3 \cdot 5 = 30

\frac{150}{360} = \frac{150 : 30}{360 : 30} = \frac{5}{12}

Si scompongono i due numeri in fattori primi. Si ha $150 = 2 \cdot 75 = 2 \cdot 3 \cdot 25 = 2 \cdot 3 \cdot 5^2$ , e $360 = 8 \cdot 45 = 2^3 \cdot 3^2 \cdot 5$ .

I fattori comuni sono $2$ , $3$ e $5$ . Il massimo comune divisore si ottiene prendendo ciascuno di essi con l’esponente minore, e tutti e tre compaiono almeno una volta con esponente $1$ , quindi $\operatorname{MCD}(150, 360) = 30$ .

Dividendo numeratore e denominatore per $30$ si ottiene $\dfrac{5}{12}$ in un solo passaggio, perché $150 : 30 = 5$ e $360 : 30 = 12$ . Dopo questa divisione non resta alcun fattore comune, perciò la frazione $\dfrac{5}{12}$ è ridotta ai minimi termini.

Esercizio 4

Stabilisci se sono equivalenti le frazioni di ciascuna coppia: $\dfrac{14}{21}$ e $\dfrac{22}{33}$ ; $\dfrac{15}{24}$ e $\dfrac{10}{18}$ .

\frac{14}{21} = \frac{14 : 7}{21 : 7} = \frac{2}{3} , \qquad \frac{22}{33} = \frac{22 : 11}{33 : 11} = \frac{2}{3}

\frac{15}{24} = \frac{15 : 3}{24 : 3} = \frac{5}{8} , \qquad \frac{10}{18} = \frac{10 : 2}{18 : 2} = \frac{5}{9}

Due frazioni sono equivalenti quando, ridotte ai minimi termini, diventano la stessa frazione. Nella prima coppia $14$ e $21$ sono multipli di $7$ , mentre $22$ e $33$ sono multipli di $11$ . Entrambe le frazioni diventano $\dfrac{2}{3}$ , quindi $\dfrac{14}{21}$ e $\dfrac{22}{33}$ sono equivalenti.

Nella seconda coppia $\dfrac{15}{24}$ diventa $\dfrac{5}{8}$ e $\dfrac{10}{18}$ diventa $\dfrac{5}{9}$ . Le due frazioni ridotte hanno lo stesso numeratore e denominatori diversi, perciò hanno valori diversi, e $\dfrac{15}{24}$ e $\dfrac{10}{18}$ non sono equivalenti.