Esercizi svolti · Scheda 8

Problemi con il minimo comune multiplo

Teoria usata: Problemi con il mcm Calcolo del mcm con la scomposizione Minimo comune multiplo

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Esercizio 1

Marco va in palestra ogni $4$ giorni e Anna ogni $10$ giorni. Oggi si sono incontrati in palestra. Fra quanti giorni si incontreranno di nuovo?

4 = 2^2, \qquad 10 = 2 \cdot 5

\operatorname{mcm}(4, 10) = 2^2 \cdot 5 = 20

Marco e Anna si incontreranno di nuovo fra $20$ giorni.

Giorni di allenamento di Marco (ogni

4

giorni) e di Anna (ogni

10

giorni): si ritrovano in palestra dopo

mcm (4, 10) = 20

giorni

Contando da oggi, Marco va in palestra dopo $4, 8, 12, 16, 20, \dots$ giorni, cioè nei multipli di $4$ . Anna ci va dopo $10, 20, 30, \dots$ giorni, cioè nei multipli di $10$ . Si incontrano nei giorni che sono multipli di entrambi i numeri, e il primo di questi è il mcm.

Il fattore $2$ compare con esponente $2$ in $4$ e con esponente $1$ in $10$ , quindi si prende $2^2$ ; il fattore $5$ compare solo in $10$ . Perciò $\operatorname{mcm}(4, 10) = 4 \cdot 5 = 20$ , e il prossimo incontro è fra $20$ giorni.

Esercizio 2

Da un capolinea partono due linee di autobus. La linea A parte ogni $12$ minuti e la linea B ogni $18$ minuti. Alle $8.00$ partono insieme. A che ora partiranno di nuovo insieme?

12 = 2^2 \cdot 3, \qquad 18 = 2 \cdot 3^2

\operatorname{mcm}(12, 18) = 2^2 \cdot 3^2 = 36

8.00 + 36 \text{ minuti} = 8.36

I due autobus partiranno di nuovo insieme alle $8.36$ .

Le partenze della linea A avvengono dopo un numero di minuti multiplo di $12$ , quelle della linea B dopo un numero di minuti multiplo di $18$ . La prima partenza comune dopo le $8.00$ avviene quindi dopo $\operatorname{mcm}(12, 18)$ minuti.

Per la regola del mcm si prendono $2^2$ , perché l’esponente maggiore del $2$ è quello di $12$ , e $3^2$ , perché l’esponente maggiore del $3$ è quello di $18$ . Si ottiene $4 \cdot 9 = 36$ . Nel frattempo la linea A parte $36 : 12 = 3$ volte e la linea B $36 : 18 = 2$ volte. Aggiungendo $36$ minuti alle $8.00$ si ottiene l’orario $8.36$ .

Esercizio 3

Per una festa si comprano piatti in confezioni da $12$ , bicchieri in confezioni da $15$ e tovaglioli in confezioni da $20$ . Si vuole avere lo stesso numero di piatti, di bicchieri e di tovaglioli, comprando confezioni intere. Qual è il numero minimo di pezzi per ciascun tipo, e quante confezioni di ogni tipo servono?

12 = 2^2 \cdot 3, \qquad 15 = 3 \cdot 5, \qquad 20 = 2^2 \cdot 5

\operatorname{mcm}(12, 15, 20) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60

\begin{aligned} 60 : 12 &= 5 \\[6pt] 60 : 15 &= 4 \\[6pt] 60 : 20 &= 3 \end{aligned}

Servono almeno $60$ pezzi per tipo, cioè $5$ confezioni di piatti, $4$ di bicchieri e $3$ di tovaglioli.

Comprando confezioni intere di piatti, il numero di piatti è un multiplo di $12$ . Allo stesso modo il numero di bicchieri è un multiplo di $15$ e quello dei tovaglioli un multiplo di $20$ . Lo stesso numero per i tre tipi deve quindi essere un multiplo comune di $12$ , $15$ e $20$ , e il più piccolo è il mcm.

Nelle scomposizioni compaiono $2$ , $3$ e $5$ , con esponenti maggiori $2$ , $1$ e $1$ . Perciò il mcm è $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ . Dividendo $60$ per il numero di pezzi di ciascuna confezione si ottengono $5$ confezioni di piatti, $4$ di bicchieri e $3$ di tovaglioli.

Esercizio 4

Le uova raccolte in un giorno in una fattoria sono più di $100$ e meno di $150$ . Si possono sistemare tutte in confezioni da $6$ , oppure tutte in confezioni da $8$ , oppure tutte in confezioni da $9$ , senza avanzi. Quante sono le uova?

6 = 2 \cdot 3, \qquad 8 = 2^3, \qquad 9 = 3^2

\operatorname{mcm}(6, 8, 9) = 2^3 \cdot 3^2 = 72

72 \cdot 1 = 72, \qquad 72 \cdot 2 = 144, \qquad 72 \cdot 3 = 216

Le uova sono $144$ .

Il numero delle uova è un multiplo di $6$ , perché le uova si sistemano in confezioni da $6$ senza avanzi; per lo stesso motivo è un multiplo di $8$ e di $9$ . È quindi un multiplo comune dei tre numeri. I multipli comuni di più numeri sono i multipli del loro mcm, che vale $2^3 \cdot 3^2 = 8 \cdot 9 = 72$ .

I multipli di $72$ sono $72$ , $144$ , $216$ , e così via. Il numero $72$ è minore di $100$ e il numero $216$ è maggiore di $150$ , mentre $144$ è compreso tra $100$ e $150$ . Perciò le uova sono $144$ .