Esercizi svolti · Scheda 7

Problemi con il massimo comune divisore

Teoria usata: Problemi con il MCD Calcolo del MCD con la scomposizione Massimo comune divisore

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Esercizio 1

Il pavimento di una stanza rettangolare misura $420$ cm per $300$ cm. Si vuole coprire con piastrelle quadrate tutte uguali, le più grandi possibili, senza tagliarle. Quanto misura il lato di una piastrella e quante piastrelle servono?

420 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7, \qquad 300 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5^2

\operatorname{MCD}(420, 300) = 2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60

420 : 60 = 7, \qquad 300 : 60 = 5, \qquad 7 \cdot 5 = 35

Le piastrelle hanno lato $60$ cm e ne servono $35$ .

La stanza di

420

cm per

300

cm coperta da

7 \cdot 5 = 35

piastrelle quadrate di lato

MCD (420, 300) = 60

Le piastrelle non si tagliano, quindi lungo il lato di $420$ cm ne deve stare un numero intero, e il lato della piastrella deve essere un divisore di $420$ . Per lo stesso motivo deve essere un divisore di $300$ . Il lato cercato è perciò il più grande divisore comune, cioè il MCD.

Le scomposizioni sono $420 = 42 \cdot 10 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 5$ e $300 = 3 \cdot 100 = 3 \cdot 2^2 \cdot 5^2$ . I fattori comuni con l’esponente minore sono $2^2$ , $3$ e $5$ , quindi il MCD è $4 \cdot 3 \cdot 5 = 60$ .

Lungo il lato lungo stanno $420 : 60 = 7$ piastrelle e lungo il lato corto $300 : 60 = 5$ . Le piastrelle formano quindi $5$ file da $7$ , e in tutto servono $35$ piastrelle di lato $60$ cm.

Esercizio 2

Una pasticceria ha $48$ biscotti e $60$ cioccolatini e vuole preparare il maggior numero possibile di sacchetti uguali, usando tutti i dolci. Quanti sacchetti prepara, e che cosa contiene ciascun sacchetto?

48 = 2^4 \cdot 3, \qquad 60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5

\operatorname{MCD}(48, 60) = 2^2 \cdot 3 = 12

48 : 12 = 4, \qquad 60 : 12 = 5

La pasticceria prepara $12$ sacchetti, ciascuno con $4$ biscotti e $5$ cioccolatini.

I sacchetti sono uguali, quindi i $48$ biscotti si dividono in parti uguali tra i sacchetti, e il numero dei sacchetti deve essere un divisore di $48$ . Allo stesso modo deve essere un divisore di $60$ . Il numero massimo di sacchetti è perciò $\operatorname{MCD}(48, 60)$ .

Il numero $48$ si scompone in $16 \cdot 3 = 2^4 \cdot 3$ e il numero $60$ in $4 \cdot 15 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$ . I fattori comuni con l’esponente minore sono $2^2$ e $3$ , quindi il MCD è $12$ . Ogni sacchetto contiene $48 : 12 = 4$ biscotti e $60 : 12 = 5$ cioccolatini, e si preparano $12$ sacchetti.

Esercizio 3

Tre nastri lunghi $90$ cm, $135$ cm e $225$ cm vanno tagliati in pezzi tutti della stessa lunghezza, la più grande possibile, senza scarti. Quanto è lungo ogni pezzo e quanti pezzi si ottengono in tutto?

90 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5, \qquad 135 = 3^3 \cdot 5, \qquad 225 = 3^2 \cdot 5^2

\operatorname{MCD}(90, 135, 225) = 3^2 \cdot 5 = 45

\begin{aligned} 90 : 45 &= 2 \\[6pt] 135 : 45 &= 3 \\[6pt] 225 : 45 &= 5 \\[6pt] 2 + 3 + 5 &= 10 \end{aligned}

Ogni pezzo è lungo $45$ cm e si ottengono $10$ pezzi.

La lunghezza di un pezzo deve essere un divisore di ciascuna delle tre lunghezze, perché ogni nastro si taglia senza scarti. La lunghezza massima è quindi il MCD dei tre numeri.

Le scomposizioni sono $90 = 2 \cdot 45 = 2 \cdot 3^2 \cdot 5$ , $135 = 27 \cdot 5 = 3^3 \cdot 5$ e $225 = 9 \cdot 25 = 3^2 \cdot 5^2$ . Il $2$ compare solo in $90$ , quindi non entra nel MCD. Il $3$ compare in tutti con esponente minore $2$ , e il $5$ con esponente minore $1$ . Perciò il MCD è $9 \cdot 5 = 45$ .

Il primo nastro dà $2$ pezzi, il secondo $3$ e il terzo $5$ , quindi in tutto si ottengono $10$ pezzi da $45$ cm.