Esercizi svolti · Scheda 3

Studi di funzioni con esponenziale

Teoria usata: Schema dello studio di funzione Test di monotonia Criterio della derivata prima Condizione necessaria per il flesso Massimo e minimo assoluto Grafico qualitativo

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Esercizio 1

Studiare la funzione

f (x) = x e^{- x}

e tracciarne il grafico qualitativo.

Dominio. L’esponenziale è definita ovunque, quindi $D = R$ .

Simmetrie e periodicità. $f (- x) = - x e^{x}$ è diversa sia da $f (x)$ sia da $- f (x)$ , quindi la funzione non è né pari né dispari; non è periodica.

Segno e intersezioni. Il fattore $e^{- x}$ è sempre positivo, quindi il segno di $f$ è il segno di $x$ : $f (x) > 0$ per $x > 0$ , $f (x) < 0$ per $x < 0$ , $f (0) = 0$ . Il grafico interseca gli assi solo nell’origine.

Limiti e asintoti. Per $x \to + \infty$ il rapporto $\frac{x}{e ^{x}}$ tende a $0$ per la gerarchia degli infiniti, quindi

x \to + \infty lim x e^{- x} = 0^{+}, x \to - \infty lim x e^{- x} = - \infty.

La retta $y = 0$ è asintoto orizzontale per $x \to + \infty$ . Per $x \to - \infty$ si ha $\frac{f ( x )}{x} = e^{- x} \to + \infty$ , quindi non c’è asintoto obliquo; non ci sono asintoti verticali.

Continuità. $f$ è prodotto di funzioni continue, quindi è continua su $R$ .

Derivabilità e monotonia. $f$ è derivabile su $R$ e

f^{'} (x) = e^{- x} - x e^{- x} = (1 - x) e^{- x} .

Poiché $e^{- x} > 0$ , si ha $f^{'} (x) > 0$ per $x < 1$ . Per il test di monotonia $f$ è crescente su $(- \infty, 1]$ e decrescente su $[1, + \infty)$ .

Massimi e minimi. L’unico punto stazionario è $1$ , dove la derivata passa da positiva a negativa, quindi per il criterio della derivata prima $1$ è punto di massimo relativo con $f (1) = \frac{1}{e}$ . Dato che $f$ cresce prima di $1$ e decresce dopo, il valore $\frac{1}{e}$ è anche massimo assoluto. Il minimo assoluto non esiste, perché $f \to - \infty$ per $x \to - \infty$ .

Concavità e flessi. Derivando ancora,

f^{''} (x) = - e^{- x} - (1 - x) e^{- x} = (x - 2) e^{- x},

quindi $f^{''} (x) > 0$ per $x > 2$ . La funzione è concava su $(- \infty, 2]$ e convessa su $[2, + \infty)$ ; poiché $f^{''}$ cambia segno in $2$ , il punto $2$ è di flesso, con $f (2) = \frac{2}{e ^{2}}$ .

Grafico.

y = x e^(-x): massimo in (1, 1/e), flesso in (2, 2/e²), asintoto y = 0

Il limite per $x \to + \infty$ è una forma del tipo $\infty \cdot 0$ , che si scioglie riscrivendo il prodotto come rapporto $\frac{x}{e ^{x}}$ . Per la gerarchia degli infiniti l’esponenziale cresce più rapidamente di ogni potenza, quindi il rapporto tende a $0$ ; la funzione resta positiva per $x > 0$ , perciò il grafico si avvicina all’asintoto $y = 0$ da sopra.

Il massimo relativo in $1$ è anche assoluto per la forma della monotonia, dato che la funzione cresce su tutto $(- \infty, 1]$ e decresce su tutto $[1, + \infty)$ : ogni altro valore di $f$ è minore di $f (1)$ . Il flesso in $2$ è coerente con l’asintoto orizzontale, poiché una funzione concava non può schiacciarsi su una retta orizzontale restandole sopra, e il cambio di concavità avviene appena dopo il massimo.

Esercizio 2

Studiare la funzione

f (x) = e^{- x^{2}}

e tracciarne il grafico qualitativo.

Dominio. $D = R$ .

Simmetrie e periodicità. $f (- x) = e^{- (- x)^{2}} = e^{- x^{2}} = f (x)$ , quindi la funzione è pari; non è periodica.

Segno e intersezioni. Un’esponenziale è sempre positiva, quindi $f (x) > 0$ per ogni $x$ e il grafico non interseca l’asse $x$ ; interseca l’asse $y$ nel punto $(0, 1)$ .

Limiti e asintoti. Per $x \to \pm \infty$ l’esponente $- x^{2}$ tende a $- \infty$ , quindi

x \to \pm \infty lim e^{- x^{2}} = 0^{+}

e la retta $y = 0$ è asintoto orizzontale da entrambe le parti; non ci sono asintoti verticali.

Continuità. $f$ è composizione di funzioni continue, quindi è continua su $R$ .

Derivabilità e monotonia. $f$ è derivabile su $R$ e

f^{'} (x) = - 2 x e^{- x^{2}} .

Poiché $e^{- x^{2}} > 0$ , si ha $f^{'} (x) > 0$ per $x < 0$ . Per il test di monotonia $f$ è crescente su $(- \infty, 0]$ e decrescente su $[0, + \infty)$ .

Massimi e minimi. L’unico punto stazionario è $0$ , dove la derivata passa da positiva a negativa, quindi $0$ è punto di massimo relativo e, per la forma della monotonia, anche assoluto, con $f (0) = 1$ . Il minimo assoluto non esiste: $f$ è positiva e tende a $0$ , quindi $0$ è l’estremo inferiore ma non è un valore assunto.

Concavità e flessi. Derivando il prodotto,

f^{''} (x) = - 2 e^{- x^{2}} + 4 x^{2} e^{- x^{2}} = (4 x^{2} - 2) e^{- x^{2}},

quindi $f^{''} (x) > 0$ per $x^{2} > \frac{1}{2}$ , cioè per $∣ x ∣ > \frac{2}{2}$ . La funzione è convessa su $(- \infty, - \frac{2}{2}]$ , concava su $[- \frac{2}{2}, \frac{2}{2}]$ , convessa su $[\frac{2}{2}, + \infty)$ . Nei punti $\pm \frac{2}{2}$ la derivata seconda cambia segno, quindi sono entrambi punti di flesso, con $f (\pm \frac{2}{2}) = e^{- 1/2} = \frac{1}{e}$ .

Grafico.

y = e^(-x²): massimo in (0, 1), flessi in x = ±√2/2, asintoto y = 0

La parità, verificata all’inizio, organizza tutto lo studio: basta ricavare monotonia, concavità e punti notevoli per $x \geq 0$ e riflettere il risultato rispetto all’asse $y$ . In particolare i due flessi sono simmetrici e hanno la stessa ordinata.

La distinzione tra estremo inferiore e minimo è il passaggio da motivare con cura. La funzione è sempre positiva e tende a $0$ agli infiniti, quindi nessun valore positivo è un minorante migliore di $0$ ; d’altra parte $f (x) = 0$ non ha soluzioni, perciò l’estremo inferiore $0$ non è assunto e il minimo assoluto non esiste. Il teorema di Weierstrass non è in contraddizione con questo fatto, perché il dominio $R$ non è un intervallo limitato e l’ipotesi del teorema non è soddisfatta.