Esercizi svolti · Scheda 2

Forme trigonometriche ed esponenziali nei vari quadranti

Teoria usata: Forma trigonometrica e argomento Formula di Eulero e forma esponenziale Modulo e sue proprietà

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Esercizio 1

Scrivere in forma trigonometrica ed esponenziale

z = 1 + i 3 .

ρ = 1 + 3 = 2

a = 1 > 0 ⟹ θ = arctan 3 = \frac{π}{3}

z = 2 (cos \frac{π}{3} + i sin \frac{π}{3}) = 2 e^{i \frac{π}{3}}

Il modulo è la radice quadrata di $a^{2} + b^{2} = 1 + 3 = 4$ , quindi $ρ = 2$ . Il punto $(1, 3)$ ha parte reale positiva, perciò appartiene al primo quadrante e l’argomento principale coincide con l’arcotangente del rapporto $\frac{b}{a} = 3$ , cioè $\frac{π}{3}$ , senza alcuna correzione.

Come verifica, $2 cos \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ e $2 sin \frac{π}{3} = 2 \cdot \frac{3}{2} = 3$ , che sono la parte reale e la parte immaginaria di partenza.

Esercizio 2

Scrivere in forma trigonometrica ed esponenziale

z = - 3 + 3 i .

ρ = 9 + 9 = 32

a = - 3 < 0, b = 3 \geq 0 ⟹ θ = arctan (- 1) + π = - \frac{π}{4} + π = \frac{3 π}{4}

z = 32 (cos \frac{3 π}{4} + i sin \frac{3 π}{4}) = 32 e^{i \frac{3 π}{4}}

Il modulo è $(- 3)^{2} + 3^{2} = 18 = 32$ . Il punto $(- 3, 3)$ ha parte reale negativa e parte immaginaria positiva, quindi appartiene al secondo quadrante; l’arcotangente di $\frac{3}{- 3} = - 1$ vale $- \frac{π}{4}$ , che è un angolo del quarto quadrante, perciò secondo i casi dell’argomento principale si somma $π$ e si ottiene $θ = \frac{3 π}{4}$ .

Come verifica, $cos \frac{3 π}{4} = - \frac{2}{2}$ e $sin \frac{3 π}{4} = \frac{2}{2}$ , quindi $32 cos \frac{3 π}{4} = - 3$ e $32 sin \frac{3 π}{4} = 3$ , che coincidono con parte reale e parte immaginaria di $z$ .

Esercizio 3

Scrivere in forma trigonometrica ed esponenziale

z = - 1 - i 3 .

ρ = 1 + 3 = 2

a = - 1 < 0, b = - 3 < 0 ⟹ θ = arctan 3 - π = \frac{π}{3} - π = - \frac{2 π}{3}

z = 2 (cos (- \frac{2 π}{3}) + i sin (- \frac{2 π}{3})) = 2 e^{- i \frac{2 π}{3}}

Il modulo è $1 + 3 = 2$ , lo stesso del primo esercizio, perché cambiare segno a parte reale e parte immaginaria non cambia il modulo. Il punto $(- 1, - 3)$ ha entrambe le coordinate negative, quindi appartiene al terzo quadrante; il rapporto $\frac{b}{a} = \frac{- 3}{- 1} = 3$ è positivo e la sua arcotangente vale $\frac{π}{3}$ , angolo del primo quadrante. Poiché $a < 0$ e $b < 0$ , secondo i casi dell’argomento principale si sottrae $π$ e si ottiene $θ = - \frac{2 π}{3}$ , che appartiene all’intervallo $(- π, π]$ .

Come verifica, $cos (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{1}{2}$ e $sin (- \frac{2 π}{3}) = - \frac{3}{2}$ , quindi $2 cos θ = - 1$ e $2 sin θ = - 3$ , come richiesto.