Limiti di rapporti di polinomi in un punto

Per $x\to 1$ numeratore e denominatore tendono entrambi a $0$, quindi il rapporto si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Il numeratore è una differenza di quadrati e si scompone come $(x-1)(x+1)$. Poiché il limite riguarda solo i punti con $x\ne 1$, il fattore $x-1$ si semplifica e la funzione coincide, in tutti questi punti, con $x+1$. La funzione $x+1$ è continua, perciò il suo limite per $x\to 1$ è il valore $1+1=2$.

Per $x\to 2$ il numeratore tende a $4-10+6=0$ e il denominatore tende a $4-4=0$, quindi il rapporto si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Entrambi i polinomi si annullano in $x=2$, perciò entrambi contengono il fattore $x-2$. Il numeratore ha radici $2$ e $3$ e si scompone come $(x-2)(x-3)$; il denominatore è una differenza di quadrati e si scompone come $(x-2)(x+2)$. Poiché il limite riguarda solo i punti con $x\ne 2$, il fattore $x-2$ si semplifica. La funzione $\frac{x-3}{x+2}$ è continua in $2$, quindi il limite è il suo valore in $2$, cioè $-\frac{1}{4}$.

Per $x\to 1$ il numeratore tende a $1-1=0$ e il denominatore tende a $1-3+2=0$, quindi il rapporto si presenta nella forma indeterminata $\frac{0}{0}$. Il numeratore è una differenza di cubi e si scompone come $x^3-1=(x-1)\left(x^2+x+1\right)$. Il denominatore ha radici $1$ e $2$, perciò si scompone come $(x-2)(x-1)$. Poiché il limite riguarda solo i punti con $x\ne 1$, il fattore comune $x-1$ si semplifica. La funzione $\frac{x^2+x+1}{x-2}$ è continua in $1$, quindi il limite è il suo valore in $1$: il numeratore vale $3$, il denominatore vale $-1$, e il limite è $-3$.