Esercizi svolti · Scheda 3

Verifiche di sup e inf con la caratterizzazione con epsilon

Teoria usata: Estremo superiore e inferiore Caratterizzazione di sup e inf con epsilon Massimo e minimo

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Esercizio 1

Dimostrare con la caratterizzazione che

sup {1 - \frac{1}{n} : n \in N, n \geq 1} = 1

e stabilire se $1$ è il massimo dell’insieme.

1 - \frac{1}{n} < 1 per ogni n \geq 1

1 - \frac{1}{n} > 1 - ε ⟺ \frac{1}{n} < ε ⟺ n > \frac{1}{ε}

sup A = 1, 1 \in / A : non \overset{e}{ˋ} massimo

La caratterizzazione richiede due condizioni. La prima è che $1$ sia un maggiorante: poiché $\frac{1}{n} > 0$ per ogni $n \geq 1$ , ogni elemento $1 - \frac{1}{n}$ è minore di $1$ , quindi la condizione è soddisfatta.

La seconda condizione è che, per ogni $ε > 0$ , l’insieme contenga un elemento maggiore di $1 - ε$ . La disequazione $1 - \frac{1}{n} > 1 - ε$ equivale, semplificando $1$ e cambiando segno, a $\frac{1}{n} < ε$ , cioè a $n > \frac{1}{ε}$ . Un naturale maggiore di $\frac{1}{ε}$ esiste per la proprietà archimedea, quindi la seconda condizione è soddisfatta e $sup A = 1$ .

Il massimo non esiste: infatti l’uguaglianza $1 - \frac{1}{n} = 1$ richiederebbe $\frac{1}{n} = 0$ , impossibile, quindi $1 \in / A$ , e l’estremo superiore è massimo soltanto quando appartiene all’insieme.

Esercizio 2

Dimostrare con la caratterizzazione che

in f {\frac{3 n + 2}{n} : n \in N, n \geq 1} = 3

e stabilire se $3$ è il minimo dell’insieme.

\frac{3 n + 2}{n} = 3 + \frac{2}{n} > 3 per ogni n \geq 1

3 + \frac{2}{n} < 3 + ε ⟺ \frac{2}{n} < ε ⟺ n > \frac{2}{ε}

in f A = 3, 3 \in / A : non \overset{e}{ˋ} minimo

La divisione termine a termine riscrive gli elementi come $3 + \frac{2}{n}$ , e in questa forma le due condizioni della caratterizzazione dell’estremo inferiore si controllano direttamente. Prima condizione: poiché $\frac{2}{n} > 0$ , ogni elemento supera $3$ , quindi $3$ è un minorante.

Seconda condizione: per ogni $ε > 0$ serve un elemento minore di $3 + ε$ . La disequazione $3 + \frac{2}{n} < 3 + ε$ equivale a $\frac{2}{n} < ε$ , cioè a $n > \frac{2}{ε}$ , e un naturale così grande esiste per la proprietà archimedea. Entrambe le condizioni sono soddisfatte, quindi $in f A = 3$ .

Il minimo non esiste, perché $3$ non appartiene all’insieme; infatti l’uguaglianza $3 + \frac{2}{n} = 3$ richiederebbe $\frac{2}{n} = 0$ , che nessun naturale realizza.

Esercizio 3

Determinare estremo superiore ed estremo inferiore di

A = {\frac{2 n - 1}{n + 1} : n \in N, n \geq 1},

dimostrando il valore dell’estremo superiore con la caratterizzazione.

\frac{2 n - 1}{n + 1} = \frac{2 ( n + 1 ) - 3}{n + 1} = 2 - \frac{3}{n + 1}

2 - \frac{3}{n + 1} < 2 per ogni n \geq 1

2 - \frac{3}{n + 1} > 2 - ε ⟺ \frac{3}{n + 1} < ε ⟺ n > \frac{3}{ε} - 1

sup A = 2, in f A = min A = \frac{1}{2}

Il numeratore si riscrive come $2 (n + 1) - 3$ , quindi ogni elemento vale $2 - \frac{3}{n + 1}$ . In questa forma il candidato estremo superiore è $2$ , perché la quantità sottratta $\frac{3}{n + 1}$ diventa piccola al crescere di $n$ .

Verifica con la caratterizzazione. Prima condizione: $\frac{3}{n + 1} > 0$ , quindi ogni elemento è minore di $2$ e $2$ è un maggiorante. Seconda condizione: fissato $ε > 0$ , la disequazione $2 - \frac{3}{n + 1} > 2 - ε$ equivale a $\frac{3}{n + 1} < ε$ , cioè a $n + 1 > \frac{3}{ε}$ , e un naturale $n > \frac{3}{ε} - 1$ esiste per la proprietà archimedea. Quindi $sup A = 2$ ; il massimo non esiste, perché nessun elemento raggiunge $2$ .

Per l’estremo inferiore si osserva che al crescere di $n$ il termine $\frac{3}{n + 1}$ diminuisce, quindi gli elementi crescono: il più piccolo si ottiene con $n = 1$ e vale $2 - \frac{3}{2} = \frac{1}{2}$ . Poiché $\frac{1}{2}$ è un minorante e appartiene all’insieme, è il minimo, e coincide con l’estremo inferiore.