Esercizi svolti · Scheda 1

Operazioni tra insiemi dati

Teoria usata: Insieme, appartenenza, inclusione Unione, intersezione, differenza, complementare Prodotto cartesiano Intervalli e loro notazione

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Esercizio 1

Dati $A = {1, 2, 3}$ e $B = {2, 4}$ , determinare $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A ∖ B$ , $B ∖ A$ e $A \times B$ .

A \cup B = {1, 2, 3, 4}, A \cap B = {2}

A ∖ B = {1, 3}, B ∖ A = {4}

A \times B = {(1, 2), (1, 4), (2, 2), (2, 4), (3, 2), (3, 4)}

L’unione raccoglie gli elementi che stanno in almeno uno dei due insiemi, quindi contiene $1, 2, 3$ provenienti da $A$ e $4$ proveniente da $B$ ; l’elemento $2$ compare una volta sola, perché in un insieme le ripetizioni non contano. L’intersezione raccoglie gli elementi comuni, e l’unico numero che appartiene sia ad $A$ sia a $B$ è $2$ . La differenza $A ∖ B$ contiene gli elementi di $A$ che non stanno in $B$ , cioè $1$ e $3$ ; la differenza $B ∖ A$ contiene i soli elementi di $B$ fuori da $A$ , cioè $4$ : le due differenze sono diverse, perché l’ordine degli insiemi conta. Il prodotto cartesiano è l’insieme delle coppie ordinate con prima componente in $A$ e seconda in $B$ : poiché $A$ ha $3$ elementi e $B$ ne ha $2$ , le coppie sono $3 \cdot 2 = 6$ .

Esercizio 2

Dati gli intervalli $A = [- 1, 3)$ e $B = (1, 5]$ , determinare $A \cup B$ , $A \cap B$ , $A ∖ B$ e il complementare $A^{c}$ rispetto a $R$ .

A \cup B = [- 1, 5], A \cap B = (1, 3)

A ∖ B = [- 1, 1], A^{c} = (- \infty, - 1) \cup [3, + \infty)

I due intervalli si sovrappongono nella zona tra $1$ e $3$ , quindi l’unione è un unico intervallo che va dall’estremo sinistro di $A$ all’estremo destro di $B$ : il punto $- 1$ è incluso perché appartiene ad $A$ , il punto $5$ è incluso perché appartiene a $B$ . L’intersezione è la zona comune: un punto sta in entrambi gli insiemi quando è maggiore di $1$ , per la condizione di $B$ , e minore di $3$ , per la condizione di $A$ ; gli estremi $1$ e $3$ sono esclusi perché $1 \in / B$ e $3 \in / A$ . La differenza $A ∖ B$ contiene i punti di $A$ che non stanno in $B$ , cioè i punti di $[- 1, 3)$ con $x \leq 1$ : il punto $1$ vi appartiene, poiché $1 \in A$ e $1 \in / B$ . Il complementare di $A$ contiene i reali minori di $- 1$ , estremo incluso in $A$ e quindi escluso dal complementare, e i reali da $3$ in poi, dato che $3 \in / A$ .

Esercizio 3

Dati $A = {x \in R : x^{2} \leq 9}$ e $B = {x \in R : x > 1}$ , determinare $A \cap B$ , $A \cup B$ e $B ∖ A$ .

A = [- 3, 3], B = (1, + \infty)

A \cap B = (1, 3], A \cup B = [- 3, + \infty), B ∖ A = (3, + \infty)

Prima di operare conviene scrivere i due insiemi come intervalli. La disequazione $x^{2} \leq 9$ equivale a $∣ x ∣ \leq 3$ , cioè a $- 3 \leq x \leq 3$ , quindi $A$ è l’intervallo chiuso $[- 3, 3]$ ; l’insieme $B$ è la semiretta aperta $(1, + \infty)$ .

L’intersezione è l’insieme dei punti che soddisfano entrambe le condizioni $x > 1$ e $x \leq 3$ , cioè $(1, 3]$ : il punto $3$ è incluso perché appartiene sia ad $A$ sia a $B$ , mentre $1$ è escluso perché $1 \in / B$ . Poiché i due insiemi si sovrappongono, l’unione è un unico insieme che parte da $- 3$ , incluso, e non è limitato superiormente, dato che $B$ contiene tutti i reali maggiori di $1$ . La differenza $B ∖ A$ contiene i punti di $B$ fuori da $A$ , cioè i reali con $x > 1$ e $x > 3$ : la condizione più restrittiva è $x > 3$ , e l’estremo $3$ è escluso perché $3 \in A$ .