Esercizi svolti · Scheda 1

Equazioni a variabili separabili

Teoria usata: Equazione a variabili separabili Metodo di separazione delle variabili Integrale generale e integrale particolare

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Esercizio 1

Determinare l’integrale generale di

y^{'} = 3 x^{2} y .

La funzione costante $y \equiv 0$ è soluzione. Per $y \neq = 0$ :

\int \frac{d y}{y} = \int 3 x^{2} d x

ln ∣ y ∣ = x^{3} + c

∣ y ∣ = e^{c} e^{x^{3}} ⟹ y = C e^{x^{3}}, C \neq = 0.

Per $C = 0$ si ritrova la soluzione nulla, quindi l’integrale generale è $y = C e^{x^{3}}$ con $C \in R$ .

L’equazione ha la forma $y^{'} = g (x) h (y)$ con $g (x) = 3 x^{2}$ e $h (y) = y$ , quindi è a variabili separabili. Il fattore $h (y) = y$ si annulla per $y = 0$ , perciò la funzione nulla è una soluzione costante e va registrata prima di dividere. Nelle regioni in cui $y \neq = 0$ si dividono i due membri per $y$ e si integra: a sinistra rispetto a $y$ , a destra rispetto a $x$ . Dall’uguaglianza $ln ∣ y ∣ = x^{3} + c$ si ricava $∣ y ∣ = e^{c} e^{x^{3}}$ , e togliendo il valore assoluto la costante $\pm e^{c}$ diventa una costante $C$ diversa da zero. Poiché la scelta $C = 0$ restituisce la soluzione nulla, un’unica formula raccoglie tutte le soluzioni.

Esercizio 2

Determinare l’integrale generale di

y^{'} = e^{x - y} .

y^{'} = e^{x} e^{- y} ⟹ \int e^{y} d y = \int e^{x} d x

e^{y} = e^{x} + C

y = ln (e^{x} + C), C \in R,

su ogni intervallo in cui $e^{x} + C > 0$ .

Per la proprietà delle potenze, $e^{x - y}$ è il prodotto $e^{x} e^{- y}$ , quindi l’equazione è a variabili separabili con $g (x) = e^{x}$ e $h (y) = e^{- y}$ . Il fattore $e^{- y}$ non si annulla mai, perciò non esistono soluzioni costanti. Dividendo per $e^{- y}$ , cioè moltiplicando per $e^{y}$ , si separano le variabili e l’integrazione dei due membri dà $e^{y} = e^{x} + C$ . Il primo membro è sempre positivo, quindi l’uguaglianza definisce una soluzione solo dove $e^{x} + C$ è positivo: per $C \geq 0$ su tutto $R$ , per $C < 0$ sulla semiretta $x > ln (- C)$ . Applicando il logaritmo si ottiene la forma esplicita della soluzione.

Esercizio 3

Determinare l’integrale generale di

y^{'} = x (1 + y^{2}) .

\int \frac{d y}{1 + y ^{2}} = \int x d x

arctan y = \frac{x ^{2}}{2} + C

y = tan (\frac{x ^{2}}{2} + C),

su ogni intervallo in cui $\frac{x ^{2}}{2} + C$ resta in un intervallo del tipo $(- \frac{π}{2} + k π, \frac{π}{2} + k π)$ .

L’equazione è a variabili separabili con $g (x) = x$ e $h (y) = 1 + y^{2}$ . Il fattore $1 + y^{2}$ è sempre maggiore o uguale a $1$ , quindi non esistono soluzioni costanti e la divisione è lecita ovunque. Una primitiva di $\frac{1}{1 + y ^{2}}$ è $arctan y$ , perciò l’integrazione dei due membri dà $arctan y = \frac{x ^{2}}{2} + C$ . Applicando la tangente si ottiene la forma esplicita $y = tan (\frac{x ^{2}}{2} + C)$ , che per verifica diretta soddisfa l’equazione su ogni intervallo in cui la tangente è definita. Poiché la tangente ha asintoti verticali nei punti $\frac{π}{2} + k π$ , ciascuna soluzione è definita solo sugli intervalli in cui l’argomento evita questi valori.