Esercizi svolti · Scheda 3

Rette tangenti

Teoria usata: Retta tangente al grafico Derivata di somma, prodotto e quoziente Derivate delle funzioni elementari

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Esercizio 1

Scrivere l’equazione della retta tangente al grafico di $f (x) = x^{3} - 2 x$ nel punto di ascissa $x_{0} = 1$ .

f (1) = 1 - 2 = - 1

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 2, f^{'} (1) = 3 - 2 = 1

y = f (1) + f^{'} (1) (x - 1) = - 1 + (x - 1) = x - 2

La retta tangente è $y = x - 2$ .

La retta tangente passa per il punto $(x_{0}, f (x_{0}))$ e ha pendenza $f^{'} (x_{0})$ , quindi servono i due valori $f (1)$ e $f^{'} (1)$ . Il valore della funzione è $f (1) = - 1$ . La derivata si calcola con le regole della somma e della potenza e vale $3 x^{2} - 2$ , perciò la pendenza è $f^{'} (1) = 1$ . Sostituendo nella formula della tangente si ottiene $y = - 1 + 1 \cdot (x - 1)$ , cioè la retta $y = x - 2$ .

Esercizio 2

Determinare i punti del grafico di $f (x) = x^{3} - 3 x$ in cui la retta tangente è orizzontale e scrivere le tangenti corrispondenti.

f^{'} (x) = 3 x^{2} - 3 = 3 (x^{2} - 1) = 0 ⟺ x = - 1 oppure x = 1

f (- 1) = - 1 + 3 = 2, f (1) = 1 - 3 = - 2

I punti sono $(- 1, 2)$ e $(1, - 2)$ ; le tangenti sono le rette $y = 2$ e $y = - 2$ .

Una retta è orizzontale quando il suo coefficiente angolare è nullo, quindi si cercano i punti in cui $f^{'} (x) = 0$ . La derivata vale $3 x^{2} - 3$ e si annulla per $x^{2} = 1$ , cioè nei due punti $x = - 1$ e $x = 1$ . Le ordinate corrispondenti sono $f (- 1) = 2$ e $f (1) = - 2$ . In un punto a tangente orizzontale la tangente è la retta costante che passa per il punto, perciò le due tangenti sono $y = 2$ e $y = - 2$ .

Esercizio 3

Determinare il punto del grafico di $f (x) = ln x$ in cui la retta tangente è parallela alla retta $y = \frac{x}{2}$ e scrivere la tangente.

f^{'} (x) = \frac{1}{x} = \frac{1}{2} ⟺ x = 2

f (2) = ln 2

y = ln 2 + \frac{1}{2} (x - 2) = \frac{x}{2} + ln 2 - 1

Il punto è $(2, ln 2)$ ; la tangente è la retta $y = \frac{x}{2} + ln 2 - 1$ .

Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare, quindi si cerca il punto in cui la derivata vale $\frac{1}{2}$ , la pendenza della retta assegnata. La derivata del logaritmo è $\frac{1}{x}$ e l’equazione $\frac{1}{x} = \frac{1}{2}$ ha l’unica soluzione $x = 2$ , che appartiene al dominio $(0, + \infty)$ . L’ordinata del punto di tangenza è $f (2) = ln 2$ . La tangente passa per $(2, ln 2)$ con pendenza $\frac{1}{2}$ , perciò la sua equazione è $y = \frac{x}{2} + ln 2 - 1$ , parallela alla retta data e distinta da essa.