Esercizi svolti · Scheda 1

Derivate con la definizione

Teoria usata: Derivata e rapporto incrementale Derivate laterali

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Esercizio 1

Calcolare con la definizione la derivata di $f (x) = x^{2} - 3 x$ in un punto generico $x \in R$ .

\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{( x + h ) ^{2} - 3 ( x + h ) - x ^{2} + 3 x}{h} = \frac{2 x h + h ^{2} - 3 h}{h} = 2 x + h - 3

f^{'} (x) = h \to 0 lim (2 x + h - 3) = 2 x - 3

Si scrive il rapporto incrementale e si sviluppa il quadrato $(x + h)^{2} = x^{2} + 2 x h + h^{2}$ . I termini $x^{2}$ e $- 3 x$ si cancellano con quelli sottratti, quindi al numeratore restano solo i termini che contengono $h$ . Dopo la semplificazione di $h$ il rapporto vale $2 x + h - 3$ , una funzione continua di $h$ , perciò il limite per $h \to 0$ si calcola per sostituzione e vale $2 x - 3$ . Il limite esiste finito per ogni $x$ , dunque $f$ è derivabile su tutto $R$ con $f^{'} (x) = 2 x - 3$ .

Esercizio 2

Calcolare con la definizione la derivata di $f (x) = \frac{1}{x}$ nei punti $x \neq = 0$ .

\frac{f ( x + h ) - f ( x )}{h} = \frac{1}{h} (\frac{1}{x + h} - \frac{1}{x}) = \frac{1}{h} \cdot \frac{x - ( x + h )}{x ( x + h )} = \frac{- h}{h x ( x + h )} = - \frac{1}{x ( x + h )}

f^{'} (x) = h \to 0 lim (- \frac{1}{x ( x + h )}) = - \frac{1}{x ^{2}}

La differenza delle due frazioni si porta al denominatore comune $x (x + h)$ , e il numeratore diventa $x - (x + h) = - h$ . Il fattore $h$ si semplifica con il denominatore del rapporto incrementale, quindi per ogni $h \neq = 0$ abbastanza piccolo il rapporto vale $- \frac{1}{x ( x + h )}$ . Per $h \to 0$ il denominatore tende a $x^{2}$ , perciò la derivata è $- \frac{1}{x ^{2}}$ in ogni punto $x \neq = 0$ , in accordo con la regola di derivazione della potenza applicata a $x^{- 1}$ .

Esercizio 3

Calcolare con la definizione la derivata di $f (x) = x$ nei punti $x > 0$ e studiare la derivabilità in $x = 0$ .

\frac{x + h - x}{h} = \frac{( x + h - x ) ( x + h + x )}{h ( x + h + x )} = \frac{h}{h ( x + h + x )} = \frac{1}{x + h + x}

f^{'} (x) = h \to 0 lim \frac{1}{x + h + x} = \frac{1}{2 x} (x > 0)

In $x = 0$ :

h \to 0^{+} lim \frac{h - 0}{h} = h \to 0^{+} lim \frac{1}{h} = + \infty,

quindi $f$ non è derivabile in $0$ .

Per $h \to 0$ il rapporto incrementale è una forma indeterminata $\frac{0}{0}$ e si razionalizza moltiplicando numeratore e denominatore per $x + h + x$ : al numeratore compare $(x + h) - x = h$ , che si semplifica con il fattore $h$ al denominatore. Il denominatore rimasto tende a $2 x$ , perciò $f^{'} (x) = \frac{1}{2 x}$ in ogni punto $x > 0$ .

In $x = 0$ il dominio prosegue solo verso destra, quindi si studia la derivata destra. Il rapporto incrementale vale $\frac{1}{h}$ e tende a $+ \infty$ , dunque la derivata destra non esiste finita e $f$ non è derivabile in $0$ ; il grafico esce dall’origine con tangente verticale.