Esercizi svolti · Scheda 2

Prodotti scalari, angoli tra vettori e prodotti vettoriali

Teoria usata: Vettori e loro componenti Somma di vettori e prodotto per un numero Prodotto scalare Angolo tra due vettori Prodotto vettoriale Area di un triangolo Condizioni di parallelismo e di perpendicolarità tra vettori

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Esercizio 1

Calcola l’angolo tra i vettori $\vec{u} = (2, -1, 2)$ e $\vec{v} = (0, 3, -3)$ .

\vec{u} \cdot \vec{v} = 2 \cdot 0 + (-1) \cdot 3 + 2 \cdot (-3) = -9

|\vec{u}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3, \qquad |\vec{v}| = \sqrt{0 + 9 + 9} = 3\sqrt{2}

\cos \theta = \frac{-9}{3 \cdot 3\sqrt{2}} = -\frac{1}{\sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2} \qquad \Longrightarrow \qquad \theta = \frac{3}{4}\pi

Il prodotto scalare in componenti è la somma dei prodotti delle componenti corrispondenti, e qui vale $-9$ . I moduli si calcolano con la radice della somma dei quadrati delle componenti.

Per la formula dell’angolo tra due vettori il coseno di $\theta$ è il prodotto scalare diviso per il prodotto dei moduli. Si ottiene $\cos \theta = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}$ , e nell’intervallo $[0, \pi]$ l’unico angolo con questo coseno è $\dfrac{3}{4}\pi$ . Il prodotto scalare è negativo, quindi l’angolo è ottuso, come risulta.

Esercizio 2

Determina il valore di $k$ per cui i vettori $\vec{u} = (k, 2, -1)$ e $\vec{v} = (3, k, 4)$ sono perpendicolari.
Determina $h$ e $m$ in modo che il vettore $\vec{w} = (2, h, m)$ sia parallelo al vettore $(4, -2, 6)$ .

Punto 1

\vec{u} \cdot \vec{v} = 3k + 2k - 4 = 5k - 4 = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad k = \frac{4}{5}

Punto 2

(2, h, m) = \lambda\,(4, -2, 6) \qquad \Longrightarrow \qquad \begin{cases} 2 = 4\lambda \\ h = -2\lambda \\ m = 6\lambda \end{cases} \qquad \Longrightarrow \qquad \lambda = \frac{1}{2}, \quad h = -1, \quad m = 3

Punto 1. Per la condizione di perpendicolarità due vettori non nulli sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. Il prodotto scalare è $k \cdot 3 + 2 \cdot k + (-1) \cdot 4 = 5k - 4$ , che si annulla per $k = \dfrac{4}{5}$ . Per questo valore i vettori sono $\left( \dfrac{4}{5}, 2, -1 \right)$ e $\left( 3, \dfrac{4}{5}, 4 \right)$ , e infatti $\dfrac{12}{5} + \dfrac{8}{5} - 4 = 0$ .

Punto 2. Per la condizione di parallelismo $\vec{w}$ è parallelo a $(4, -2, 6)$ se e solo se è un suo multiplo, cioè se esiste un numero $\lambda$ con $\vec{w} = \lambda\,(4, -2, 6)$ . Le tre uguaglianze tra le componenti valgono insieme e formano un sistema. Dalla prima equazione $\lambda = \dfrac{1}{2}$ , e sostituendo nelle altre due si ottiene $h = -1$ e $m = 3$ . Il vettore $\vec{w} = (2, -1, 3)$ è quindi la metà di $(4, -2, 6)$ .

Esercizio 3

Calcola l’area del triangolo di vertici $A(1, 2, 0)$ , $B(3, 2, 1)$ e $C(1, 4, 2)$ e l’altezza relativa al lato $AB$ .

\overrightarrow{AB} = (2, 0, 1), \qquad \overrightarrow{AC} = (0, 2, 2)

\begin{aligned} \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} &= \big( 0 \cdot 2 - 1 \cdot 2,\ \ 1 \cdot 0 - 2 \cdot 2,\ \ 2 \cdot 2 - 0 \cdot 0 \big) \\[6pt] &= (-2, -4, 4) \end{aligned}

\left| \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} \right| = \sqrt{4 + 16 + 16} = 6 \qquad \Longrightarrow \qquad \text{Area} = \frac{6}{2} = 3

\overline{AB} = \sqrt{4 + 0 + 1} = \sqrt{5}, \qquad h = \frac{2 \cdot \text{Area}}{\overline{AB}} = \frac{6}{\sqrt{5}} = \frac{6\sqrt{5}}{5}

I vettori $\overrightarrow{AB}$ e $\overrightarrow{AC}$ si ottengono sottraendo le coordinate di $A$ da quelle di $B$ e di $C$ . Il modulo del loro prodotto vettoriale è l’area del parallelogramma costruito sui due lati, e il triangolo ne è la metà; perciò l’area del triangolo è $3$ .

Nel prodotto vettoriale la prima componente è $b c' - c b'$ , con $b = 0$ , $c = 1$ , $b' = 2$ e $c' = 2$ , e vale $-2$ ; allo stesso modo si calcolano le altre due. Come controllo, il risultato $(-2, -4, 4)$ è perpendicolare a entrambi i vettori, perché $(-2) \cdot 2 + 0 + 4 \cdot 1 = 0$ e $0 - 8 + 8 = 0$ .

L’area è anche uguale alla metà del prodotto della base $AB$ per l’altezza $h$ relativa a quella base. Ricavando $h$ si ottiene $h = \dfrac{6}{\sqrt{5}}$ , che razionalizzato diventa $\dfrac{6\sqrt{5}}{5}$ .

Esercizio 4

Determina i versori perpendicolari sia a $\vec{u} = (1, 0, 1)$ sia a $\vec{v} = (1, 2, 0)$ .

\vec{u} \times \vec{v} = \big( 0 \cdot 0 - 1 \cdot 2,\ \ 1 \cdot 1 - 1 \cdot 0,\ \ 1 \cdot 2 - 0 \cdot 1 \big) = (-2, 1, 2)

|\vec{u} \times \vec{v}| = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3

\text{versori: } \quad \left( -\frac{2}{3}, \frac{1}{3}, \frac{2}{3} \right) \quad \text{e} \quad \left( \frac{2}{3}, -\frac{1}{3}, -\frac{2}{3} \right)

Il prodotto vettoriale di $\vec{u}$ e $\vec{v}$ è perpendicolare a entrambi i vettori, e i vettori perpendicolari sia a $\vec{u}$ sia a $\vec{v}$ sono tutti i suoi multipli, perché $\vec{u}$ e $\vec{v}$ non sono paralleli. Il prodotto vettoriale vale $(-2, 1, 2)$ ; la perpendicolarità si controlla con i prodotti scalari, $-2 + 0 + 2 = 0$ e $-2 + 2 + 0 = 0$ .

Un versore è un vettore di modulo $1$ . Dividendo $(-2, 1, 2)$ per il suo modulo $3$ si ottiene un versore, e il suo opposto è l’altro versore con la stessa direzione. Le soluzioni sono quindi due, con versi opposti.