Esercizi svolti · Scheda 1

Distanze tra punti, punti medi e baricentri

Teoria usata: Sistema di riferimento cartesiano nello spazio Distanza tra due punti Punto medio di un segmento Baricentro di un triangolo

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Esercizio 1

Dati i punti $A(1, -2, 3)$ e $B(5, 0, -1)$ , calcola la lunghezza del segmento $AB$ e le coordinate del suo punto medio $M$ .

\begin{aligned} \overline{AB} &= \sqrt{(5 - 1)^2 + (0 + 2)^2 + (-1 - 3)^2} \\[6pt] &= \sqrt{16 + 4 + 16} \\[6pt] &= \sqrt{36} = 6 \end{aligned}

M\left( \frac{1 + 5}{2}, \frac{-2 + 0}{2}, \frac{3 - 1}{2} \right) = M(3, -1, 1)

La distanza tra due punti si calcola con la radice quadrata della somma dei quadrati delle differenze delle coordinate. Le differenze sono $5 - 1 = 4$ , $0 - (-2) = 2$ e $-1 - 3 = -4$ ; i loro quadrati sono $16$ , $4$ e $16$ , e la loro somma è $36$ . Quindi $\overline{AB} = 6$ .

Il punto medio ha come coordinate le medie delle coordinate degli estremi. Si ottiene $M(3, -1, 1)$ . Come controllo si può verificare che $\overline{AM} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3$ , che è la metà di $\overline{AB}$ .

Esercizio 2

Verifica che il triangolo di vertici $A(1, 0, 1)$ , $B(3, 2, 2)$ e $C(3, -1, -1)$ è rettangolo e isoscele, e calcolane il perimetro e l’area.

\overline{AB} = \sqrt{2^2 + 2^2 + 1^2} = \sqrt{9} = 3

\overline{AC} = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3

\overline{BC} = \sqrt{0^2 + (-3)^2 + (-3)^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}

\overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = 9 + 9 = 18 = \overline{BC}^2

2p = 3 + 3 + 3\sqrt{2} = 6 + 3\sqrt{2}, \qquad \text{Area} = \frac{\overline{AB} \cdot \overline{AC}}{2} = \frac{9}{2}

Si calcolano le lunghezze dei tre lati con la formula della distanza. I lati $AB$ e $AC$ misurano entrambi $3$ , quindi il triangolo è isoscele sulla base $BC$ .

Per stabilire se il triangolo è rettangolo si usa l’inverso del teorema di Pitagora. Il lato più lungo è $BC$ , e il suo quadrato $18$ è uguale alla somma dei quadrati degli altri due lati, $9 + 9$ . Perciò il triangolo è rettangolo in $A$ , il vertice opposto a $BC$ .

Il perimetro è la somma dei tre lati. In un triangolo rettangolo i cateti sono uno l’altezza relativa all’altro, quindi l’area è il semiprodotto dei cateti $AB$ e $AC$ , cioè $\dfrac{9}{2}$ .

Esercizio 3

Determina il punto $P$ dell’asse $z$ che ha la stessa distanza dai punti $A(1, 2, 3)$ e $B(-1, 0, 1)$ .

P(0, 0, k)

\overline{PA}^2 = 1 + 4 + (3 - k)^2, \qquad \overline{PB}^2 = 1 + 0 + (1 - k)^2

\begin{aligned} 5 + 9 - 6k + k^2 &= 1 + 1 - 2k + k^2 \\[6pt] 14 - 6k &= 2 - 2k \\[6pt] -4k &= -12 \\[6pt] k &= 3 \end{aligned}

P(0, 0, 3)

Un punto dell’asse $z$ ha nulle l’ascissa e l’ordinata, quindi si scrive $P(0, 0, k)$ con $k$ incognito. La condizione $\overline{PA} = \overline{PB}$ riguarda due numeri positivi, perciò equivale a $\overline{PA}^2 = \overline{PB}^2$ , e lavorare con i quadrati evita le radici.

Si sviluppano i quadrati $(3 - k)^2 = 9 - 6k + k^2$ e $(1 - k)^2 = 1 - 2k + k^2$ . Il termine $k^2$ compare in entrambi i membri e si elimina, quindi l’equazione è di primo grado e ha la sola soluzione $k = 3$ . Il punto cercato è $P(0, 0, 3)$ . Come controllo, $\overline{PA}^2 = 1 + 4 + 0 = 5$ e $\overline{PB}^2 = 1 + 0 + 4 = 5$ .

Esercizio 4

Dati i punti $A(1, 0, 2)$ , $B(3, 1, 0)$ e $C(4, 3, 1)$ , determina il punto $D$ tale che $ABCD$ sia un parallelogramma e calcola il baricentro $G$ del triangolo $ABC$ .

M_{AC}\left( \frac{1 + 4}{2}, \frac{0 + 3}{2}, \frac{2 + 1}{2} \right) = M_{AC}\left( \frac{5}{2}, \frac{3}{2}, \frac{3}{2} \right)

\begin{cases} \dfrac{3 + x_D}{2} = \dfrac{5}{2} \\[10pt] \dfrac{1 + y_D}{2} = \dfrac{3}{2} \\[10pt] \dfrac{0 + z_D}{2} = \dfrac{3}{2} \end{cases} \qquad \Longrightarrow \qquad D(2, 2, 3)

G\left( \frac{1 + 3 + 4}{3}, \frac{0 + 1 + 3}{3}, \frac{2 + 0 + 1}{3} \right) = G\left( \frac{8}{3}, \frac{4}{3}, 1 \right)

In un parallelogramma le diagonali si incontrano nel loro punto medio. Nel parallelogramma $ABCD$ le diagonali sono $AC$ e $BD$ , quindi il punto medio di $BD$ deve coincidere con il punto medio di $AC$ , che vale $\left( \dfrac{5}{2}, \dfrac{3}{2}, \dfrac{3}{2} \right)$ .

Le tre uguaglianze tra le coordinate dei due punti medi devono valere insieme, e formano perciò un sistema. Moltiplicando ogni equazione per $2$ si ottiene $x_D = 5 - 3 = 2$ , $y_D = 3 - 1 = 2$ e $z_D = 3 - 0 = 3$ , cioè $D(2, 2, 3)$ . Lo stesso risultato si ottiene con i vettori, perché in un parallelogramma $\overrightarrow{AD} = \overrightarrow{BC} = (1, 2, 1)$ , e quindi $D = (1 + 1,\ 0 + 2,\ 2 + 1)$ .

Il baricentro ha come coordinate le medie delle coordinate dei tre vertici. Si ottiene $G\left( \dfrac{8}{3}, \dfrac{4}{3}, 1 \right)$ .