Esercizi svolti · Scheda 3

Segno e intersezioni con gli assi

Teoria usata: Zeri, segno e intersezioni con gli assi Dominio naturale

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Esercizio 1

Determina le intersezioni con gli assi e il segno della funzione $f(x) = x^3 - x^2 - 6x$ .

f(x) = x\left( x^2 - x - 6 \right) = x\,(x + 2)(x - 3)

f(x) = 0 \iff x = -2, \quad x = 0, \quad x = 3

	$x < -2$	$-2 < x < 0$	$0 < x < 3$	$x > 3$
$x$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x + 2$	$-$	$+$	$+$	$+$
$x - 3$	$-$	$-$	$-$	$+$
$f(x)$	$-$	$+$	$-$	$+$

f(x) > 0 \iff -2 < x < 0 \quad \text{oppure} \quad x > 3

y = x^{3} - x^{2} - 6 x

Il grafico di

f (x) = x^{3} - x^{2} - 6 x

interseca l'asse

x

- 2

0

3

, e sta sopra l'asse per

- 2 < x < 0

e per

x > 3

La funzione è un polinomio, quindi il dominio è $\mathbb{R}$ . Si raccoglie $x$ e si scompone il trinomio $x^2 - x - 6$ , che ha radici $-2$ e $3$ perché $-2 + 3 = 1$ e $(-2) \cdot 3 = -6$ . Gli zeri sono quindi $-2$ , $0$ e $3$ , e il grafico interseca l’asse $x$ nei punti $(-2, 0)$ , $(0, 0)$ e $(3, 0)$ . L’origine è anche l’intersezione con l’asse $y$ , perché $f(0) = 0$ .

Il segno del prodotto si ricava dal segno dei tre fattori, ciascuno dei quali è positivo a destra del proprio zero. Nella riga di $f(x)$ il segno è il prodotto dei segni della colonna. La funzione è perciò positiva per $-2 < x < 0$ e per $x > 3$ , ed è negativa per $x < -2$ e per $0 < x < 3$ .

Esercizio 2

Determina le intersezioni con gli assi e il segno della funzione $f(x) = \dfrac{x^2 - 4}{x^2 + x}$ .

x^2 + x = x\,(x + 1) \neq 0 \qquad \Longrightarrow \qquad D = \mathbb{R} \setminus \{-1, 0\}

f(x) = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x\,(x + 1)} = 0 \iff x = -2 \quad \text{oppure} \quad x = 2

	$x < -2$	$-2 < x < -1$	$-1 < x < 0$	$0 < x < 2$	$x > 2$
$x - 2$	$-$	$-$	$-$	$-$	$+$
$x + 2$	$-$	$+$	$+$	$+$	$+$
$x$	$-$	$-$	$-$	$+$	$+$
$x + 1$	$-$	$-$	$+$	$+$	$+$
$f(x)$	$+$	$-$	$+$	$-$	$+$

f(x) > 0 \iff x < -2 \quad \text{oppure} \quad -1 < x < 0 \quad \text{oppure} \quad x > 2

Il primo passo è il dominio. Il denominatore si annulla per $x = 0$ e per $x = -1$ , quindi questi due numeri sono esclusi. In particolare $0$ non appartiene al dominio, perciò il grafico non interseca l’asse $y$ .

Gli zeri della funzione sono gli zeri del numeratore che appartengono al dominio, cioè $-2$ e $2$ , e i punti di intersezione con l’asse $x$ sono $(-2, 0)$ e $(2, 0)$ . Per il segno si scompongono numeratore e denominatore in quattro fattori di primo grado, che cambiano segno in $-2$ , $-1$ , $0$ e $2$ . In ogni intervallo il segno della frazione è il prodotto dei segni dei quattro fattori. Per esempio, per $-2 < x < -1$ ci sono tre fattori negativi, quindi la frazione è negativa. Come controllo, $f(-3) = \dfrac{5}{6} > 0$ e $f(1) = -\dfrac{3}{2} < 0$ , in accordo con la tabella.

Esercizio 3

Determina le intersezioni con gli assi e il segno della funzione $f(x) = (2 - x) \ln x$ .

D = (0, +\infty)

f(x) = 0 \iff 2 - x = 0 \quad \text{oppure} \quad \ln x = 0 \iff x = 2 \quad \text{oppure} \quad x = 1

	$0 < x < 1$	$1 < x < 2$	$x > 2$
$2 - x$	$+$	$+$	$-$
$\ln x$	$-$	$+$	$+$
$f(x)$	$-$	$+$	$-$

f(x) > 0 \iff 1 < x < 2

L’argomento del logaritmo deve essere positivo, quindi il dominio è $(0, +\infty)$ . Il numero $0$ non appartiene al dominio, perciò il grafico non interseca l’asse $y$ .

Un prodotto è nullo quando è nullo uno dei fattori. Il fattore $2 - x$ si annulla per $x = 2$ e il fattore $\ln x$ si annulla per $x = 1$ , perché $\ln 1 = 0$ ; i punti di intersezione con l’asse $x$ sono quindi $(1, 0)$ e $(2, 0)$ . Il fattore $2 - x$ è positivo per $x < 2$ , mentre $\ln x$ è positivo per $x > 1$ , perché il logaritmo naturale è crescente. Dalla tabella la funzione è positiva solo per $1 < x < 2$ , ed è negativa per $0 < x < 1$ e per $x > 2$ . Per esempio $f\left( \dfrac{3}{2} \right) = \dfrac{1}{2} \ln \dfrac{3}{2} > 0$ , mentre $f(e) = 2 - e < 0$ .