Esercizi svolti · Scheda 2

Domini di funzioni trascendenti

Teoria usata: Dominio naturale Funzioni algebriche e funzioni trascendenti Funzioni esponenziali e logaritmiche

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Esercizio 1

Determina il dominio della funzione $f(x) = \ln \left( x^2 - 9 \right)$ .

x^2 - 9 > 0 \iff (x - 3)(x + 3) > 0 \iff x < -3 \quad \text{oppure} \quad x > 3

D = (-\infty, -3) \cup (3, +\infty)

La funzione è logaritmica, e l’argomento di un logaritmo deve essere maggiore di $0$ . La disuguaglianza è stretta, perché il logaritmo di $0$ non esiste.

Il binomio $x^2 - 9$ è una differenza di quadrati e si annulla per $x = \pm 3$ . Il suo grafico è una parabola con la concavità verso l’alto, quindi il binomio è positivo fuori dall’intervallo $[-3, 3]$ . Il dominio è perciò l’unione delle due semirette aperte $(-\infty, -3)$ e $(3, +\infty)$ .

Esercizio 2

Determina il dominio della funzione $f(x) = e^{\frac{1}{x - 2}} + \ln (5 - x)$ .

\begin{cases} x - 2 \neq 0 \\[4pt] 5 - x > 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x \neq 2 \\[4pt] x < 5 \end{cases}

D = (-\infty, 2) \cup (2, 5)

L’esponenziale di base $e$ è definito per ogni esponente reale, quindi la sola condizione che viene dal primo addendo riguarda l’esponente $\dfrac{1}{x - 2}$ , che esiste se il denominatore è diverso da $0$ . Il secondo addendo è un logaritmo, e il suo argomento $5 - x$ deve essere positivo.

Le due condizioni devono essere soddisfatte insieme, perché la somma esiste solo se esistono entrambi gli addendi. La seconda dà $x < 5$ , e dalla semiretta $(-\infty, 5)$ si toglie il numero $2$ . Il dominio è quindi $D = (-\infty, 2) \cup (2, 5)$ .

Esercizio 3

Determina il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{\ln (x - 1)}$ .

\begin{cases} x - 1 > 0 \\[4pt] \ln (x - 1) \geq 0 \end{cases} \iff \begin{cases} x > 1 \\[4pt] x - 1 \geq 1 \end{cases} \iff x \geq 2

D = [2, +\infty)

Le condizioni sono due. L’argomento del logaritmo deve essere positivo, e il radicando della radice quadrata, che qui è il logaritmo, deve essere maggiore o uguale a $0$ .

Il logaritmo naturale è crescente e vale $0$ in $1$ , quindi $\ln (x - 1) \geq 0$ equivale a $x - 1 \geq 1$ , cioè $x \geq 2$ . Tutti i numeri $x \geq 2$ soddisfano anche la prima condizione $x > 1$ . Il dominio è perciò $D = [2, +\infty)$ . Per esempio $f(2) = \sqrt{\ln 1} = 0$ , mentre per $x = \dfrac{3}{2}$ si ha $\ln \dfrac{1}{2} < 0$ e la radice non esiste.

Esercizio 4

Determina il dominio della funzione $f(x) = \sqrt{4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4}$ .

4^{x} - 3 \cdot 2^{x} - 4 \geq 0, \qquad t = 2^{x} > 0

t^2 - 3t - 4 \geq 0 \iff (t - 4)(t + 1) \geq 0 \iff t \leq -1 \quad \text{oppure} \quad t \geq 4

2^{x} \geq 4 = 2^{2} \iff x \geq 2

D = [2, +\infty)

Il radicando deve essere maggiore o uguale a $0$ . Poiché $4^{x} = \left( 2^{2} \right)^{x} = \left( 2^{x} \right)^{2}$ , con la sostituzione $t = 2^{x}$ la disequazione diventa di secondo grado nella variabile $t$ .

Il trinomio $t^2 - 3t - 4$ ha radici $-1$ e $4$ e la concavità verso l’alto, quindi è maggiore o uguale a $0$ per $t \leq -1$ e per $t \geq 4$ . Un esponenziale è sempre positivo, perciò la condizione $2^{x} \leq -1$ non ha soluzioni. Resta $2^{x} \geq 4$ , cioè $2^{x} \geq 2^{2}$ . L’esponenziale di base $2$ è crescente, quindi questa disuguaglianza equivale a $x \geq 2$ . Il dominio è $D = [2, +\infty)$ .