Esercizi svolti · Scheda 2

Rette tangenti al grafico di una funzione

Teoria usata: Retta tangente Angolo della tangente e retta normale Derivate delle funzioni elementari Derivate della costante e delle potenze Derivata della somma e del prodotto

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Esercizio 1

Scrivi le equazioni della retta tangente e della retta normale al grafico di $f(x) = x^3 - 2x + 1$ nel punto di ascissa $x_0 = 1$ .

f(1) = 1 - 2 + 1 = 0

f'(x) = 3x^2 - 2, \qquad f'(1) = 3 - 2 = 1

\text{tangente:} \quad y - 0 = 1 \cdot (x - 1) \qquad \Longrightarrow \qquad y = x - 1

\text{normale:} \quad y - 0 = -1 \cdot (x - 1) \qquad \Longrightarrow \qquad y = -x + 1

La retta tangente passa per il punto $\big( 1, f(1) \big) = (1, 0)$ e ha coefficiente angolare $f'(1)$ . La derivata del polinomio si calcola termine per termine con la regola della somma e con la formula delle potenze, $\left( x^3 \right)' = 3x^2$ e $(2x)' = 2$ , mentre la derivata della costante $1$ è $0$ . Si ottiene $f'(1) = 1$ , quindi la tangente è $y = x - 1$ .

La retta normale è perpendicolare alla tangente, quindi il suo coefficiente angolare è $-\dfrac{1}{f'(1)} = -1$ . Anche la normale passa per $(1, 0)$ , perciò la sua equazione è $y = -x + 1$ .

Esercizio 2

Determina il punto del grafico di $f(x) = x^2 - 4x + 5$ in cui la retta tangente è parallela alla retta $y = 2x + 3$ , e scrivi l’equazione di questa tangente.

f'(x) = 2x - 4

2x - 4 = 2 \qquad \Longrightarrow \qquad x = 3

f(3) = 9 - 12 + 5 = 2

y - 2 = 2\,(x - 3) \qquad \Longrightarrow \qquad y = 2x - 4

Il punto cercato è $(3, 2)$ e la tangente è $y = 2x - 4$ .

Due rette sono parallele quando hanno lo stesso coefficiente angolare. La retta $y = 2x + 3$ ha coefficiente angolare $2$ , quindi si cercano i punti in cui la derivata, che è il coefficiente angolare della tangente, vale $2$ . L’equazione $2x - 4 = 2$ ha l’unica soluzione $x = 3$ .

L’ordinata del punto si ottiene sostituendo $x = 3$ nella funzione, e vale $2$ . La tangente nel punto $(3, 2)$ ha coefficiente angolare $2$ ed equazione $y = 2x - 4$ . Questa retta è diversa da $y = 2x + 3$ , perché le due rette hanno termini noti diversi, e quindi le due rette sono parallele e distinte.

Esercizio 3

Scrivi le equazioni delle rette passanti per il punto $P(1, -3)$ e tangenti al grafico di $f(x) = x^2$ .

\text{tangente nel punto } \left( a, a^2 \right): \quad y - a^2 = 2a\,(x - a) \qquad \Longrightarrow \qquad y = 2a\,x - a^2

\text{passaggio per } P(1, -3): \quad -3 = 2a - a^2 \qquad \Longrightarrow \qquad a^2 - 2a - 3 = 0

(a - 3)(a + 1) = 0 \qquad \Longrightarrow \qquad a = 3 \quad \text{oppure} \quad a = -1

a = 3: \quad y = 6x - 9, \qquad a = -1: \quad y = -2x - 1

y = x^2

y = 6x - 9

y = -2x - 1

Dal punto

P (1, - 3)

si conducono due tangenti al grafico di

x^{2}

, con punti di contatto

(3, 9)

(- 1, 1)

Il punto $P$ non appartiene al grafico, perché $f(1) = 1 \neq -3$ . Per questo motivo non si conosce il punto di contatto, e lo si indica con $\left( a, a^2 \right)$ . La derivata è $f'(x) = 2x$ , quindi la tangente nel punto di ascissa $a$ ha coefficiente angolare $2a$ . Sviluppando $y - a^2 = 2a\,(x - a)$ si ottiene $y = 2a\,x - 2a^2 + a^2 = 2a\,x - a^2$ .

Si impone ora che la tangente passi per $P$ , sostituendo $x = 1$ e $y = -3$ . Si ottiene l’equazione di secondo grado $a^2 - 2a - 3 = 0$ , che ha due soluzioni, $a = 3$ e $a = -1$ . Perciò da $P$ si conducono due tangenti: con $a = 3$ la retta $y = 6x - 9$ , che tocca il grafico in $(3, 9)$ , e con $a = -1$ la retta $y = -2x - 1$ , che tocca il grafico in $(-1, 1)$ . Per controllo, entrambe le rette in $x = 1$ valgono $-3$ .

Esercizio 4

Determina i valori del parametro $k$ per i quali la retta $y = 3x + k$ è tangente al grafico di $f(x) = x^3$ .

f'(x) = 3x^2 = 3 \qquad \Longrightarrow \qquad x^2 = 1 \qquad \Longrightarrow \qquad x = 1 \quad \text{oppure} \quad x = -1

x = 1: \quad f(1) = 1, \qquad 1 = 3 \cdot 1 + k \qquad \Longrightarrow \qquad k = -2

x = -1: \quad f(-1) = -1, \qquad -1 = 3 \cdot (-1) + k \qquad \Longrightarrow \qquad k = 2

La retta è tangente per $k = -2$ , nel punto $(1, 1)$ , e per $k = 2$ , nel punto $(-1, -1)$ .

Tutte le rette $y = 3x + k$ hanno coefficiente angolare $3$ . Una di esse è tangente al grafico nel punto di ascissa $x_0$ se la derivata in $x_0$ è uguale a $3$ e se la retta passa per il punto $\big( x_0, f(x_0) \big)$ , cioè se

\begin{cases} 3x_0^2 = 3 \\ x_0^3 = 3x_0 + k . \end{cases}

La prima equazione ha le soluzioni $x_0 = 1$ e $x_0 = -1$ .

Per ciascuna di queste ascisse si impone il passaggio della retta per il punto del grafico. Nel punto $(1, 1)$ si ottiene $k = -2$ , e nel punto $(-1, -1)$ si ottiene $k = 2$ . Esistono quindi due rette tangenti con coefficiente angolare $3$ , cioè $y = 3x - 2$ e $y = 3x + 2$ , simmetriche rispetto all’origine come il grafico di $x^3$ .