Esercizi svolti · Scheda 1

Derivate calcolate con la definizione

Teoria usata: Rapporto incrementale Derivata in un punto Funzione derivata Retta tangente

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Esercizio 1

Calcola con la definizione la derivata di $f(x) = x^2 - 3x$ nel punto $x_0 = 2$ e scrivi l’equazione della retta tangente al grafico nel punto di ascissa $2$ .

f(2) = 4 - 6 = -2

\begin{aligned} \frac{f(2 + h) - f(2)}{h} &= \frac{(2 + h)^2 - 3\,(2 + h) + 2}{h} \\[6pt] &= \frac{4 + 4h + h^2 - 6 - 3h + 2}{h} \\[6pt] &= \frac{h + h^2}{h} \\[6pt] &= 1 + h \end{aligned}

f'(2) = \lim_{h \to 0} (1 + h) = 1

y - (-2) = 1 \cdot (x - 2) \qquad \Longrightarrow \qquad y = x - 4

y = x^2 - 3x

y = x - 4

La tangente al grafico di

f (x) = x^{2} - 3 x

nel punto

(2, - 2)

ha coefficiente angolare

f^{'} (2) = 1

Il primo passo è il calcolo di $f(2)$ , che serve sia nel rapporto incrementale sia nell’equazione della tangente. Nel rapporto incrementale si sostituisce $2 + h$ al posto di $x$ e si sottrae $f(2) = -2$ , cioè si aggiunge $2$ . Sviluppando il quadrato e il prodotto, i termini senza $h$ si annullano, perché $4 - 6 + 2 = 0$ , e i termini di primo grado danno $4h - 3h = h$ . Al numeratore resta quindi $h + h^2$ , che si divide per $h$ .

Per $h \to 0$ il risultato $1 + h$ tende a $1$ , quindi la funzione è derivabile in $2$ e $f'(2) = 1$ . La retta tangente passa per il punto $(2, -2)$ e ha coefficiente angolare $1$ , perciò la sua equazione è $y = x - 4$ .

Esercizio 2

Calcola con la definizione la derivata di $f(x) = \dfrac{1}{x + 1}$ nel punto $x_0 = 1$ .

f(1) = \frac{1}{2}, \qquad f(1 + h) = \frac{1}{2 + h}

\begin{aligned} \frac{f(1 + h) - f(1)}{h} &= \frac{1}{h} \left( \frac{1}{2 + h} - \frac{1}{2} \right) \\[6pt] &= \frac{1}{h} \cdot \frac{2 - (2 + h)}{2\,(2 + h)} \\[6pt] &= \frac{1}{h} \cdot \frac{-h}{2\,(2 + h)} \\[6pt] &= -\frac{1}{2\,(2 + h)} \end{aligned}

f'(1) = \lim_{h \to 0} \left( -\frac{1}{2\,(2 + h)} \right) = -\frac{1}{4}

Il rapporto incrementale contiene una differenza di due frazioni, che si riduce al denominatore comune $2\,(2 + h)$ . Al numeratore si ottiene $2 - 2 - h = -h$ , e questo fattore si semplifica con il $\dfrac{1}{h}$ che sta davanti.

Prima della semplificazione il limite per $h \to 0$ si presentava nella forma $\dfrac{0}{0}$ . Dopo la semplificazione si calcola sostituendo $h = 0$ , perché l’espressione $-\dfrac{1}{2\,(2 + h)}$ è continua in $h = 0$ , e si ottiene $f'(1) = -\dfrac{1}{4}$ . La derivata è negativa, e questo è coerente con il fatto che $\dfrac{1}{x + 1}$ decresce per $x > -1$ .

Esercizio 3

Determina con la definizione la funzione derivata di $f(x) = \sqrt{x + 3}$ per $x > -3$ , e calcola $f'(1)$ .

\begin{aligned} \frac{\sqrt{x + h + 3} - \sqrt{x + 3}}{h} &= \frac{\left( \sqrt{x + h + 3} - \sqrt{x + 3} \right)\left( \sqrt{x + h + 3} + \sqrt{x + 3} \right)}{h \left( \sqrt{x + h + 3} + \sqrt{x + 3} \right)} \\[6pt] &= \frac{(x + h + 3) - (x + 3)}{h \left( \sqrt{x + h + 3} + \sqrt{x + 3} \right)} \\[6pt] &= \frac{1}{\sqrt{x + h + 3} + \sqrt{x + 3}} \end{aligned}

f'(x) = \lim_{h \to 0} \frac{1}{\sqrt{x + h + 3} + \sqrt{x + 3}} = \frac{1}{2\sqrt{x + 3}}

f'(1) = \frac{1}{2\sqrt{4}} = \frac{1}{4}

Questa volta il punto $x$ è generico, e il risultato è la funzione derivata. Il numeratore del rapporto incrementale è una differenza di radici, e per $h \to 0$ il rapporto si presenta nella forma $\dfrac{0}{0}$ . Per eliminare la differenza di radici si moltiplicano numeratore e denominatore per la somma $\sqrt{x + h + 3} + \sqrt{x + 3}$ . Il prodotto di una differenza per la somma degli stessi termini è la differenza dei quadrati, quindi al numeratore resta $(x + h + 3) - (x + 3) = h$ , che si semplifica.

Per $h \to 0$ il denominatore tende a $\sqrt{x + 3} + \sqrt{x + 3} = 2\sqrt{x + 3}$ , che è positivo perché $x > -3$ . Si ottiene perciò $f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x + 3}}$ , e sostituendo $x = 1$ si trova $f'(1) = \dfrac{1}{4}$ .

Esercizio 4

Calcola con la definizione la derivata di $f(x) = e^{2x}$ nel punto $x_0 = 0$ .

\frac{f(0 + h) - f(0)}{h} = \frac{e^{2h} - 1}{h} = 2 \cdot \frac{e^{2h} - 1}{2h}

f'(0) = 2 \cdot \lim_{h \to 0} \frac{e^{2h} - 1}{2h} = 2 \cdot 1 = 2

Poiché $f(0) = e^{0} = 1$ , il rapporto incrementale è $\dfrac{e^{2h} - 1}{h}$ , che per $h \to 0$ si presenta nella forma $\dfrac{0}{0}$ . Il limite notevole $\displaystyle\lim_{t \to 0} \dfrac{e^{t} - 1}{t} = 1$ si applica quando al denominatore compare lo stesso esponente che compare in $e^{t}$ . Per questo motivo si moltiplica e si divide per $2$ , così che al denominatore compaia $2h$ .

Si pone $t = 2h$ . Quando $h \to 0$ anche $t \to 0$ , quindi il quoziente $\dfrac{e^{2h} - 1}{2h}$ tende a $1$ e la derivata è $f'(0) = 2$ . Lo stesso risultato si ottiene con la regola della funzione composta, $\left( e^{2x} \right)' = 2e^{2x}$ , che in $0$ vale $2$ .